Интеграл (от max(x1,x2,...,xn) )

[myra_panama]

Найти
$\lim\limits_{n \to \infty}\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1}...\int\limits_{0}^{1}\max(x_1,x_2,...x_n)dx_1dx_2...dx_n$

как можно преобразовать $\max(x_1,x_2,...x_n)$

[Someone]

Разбейте Ваш $n$-мерный куб, по которому Вы интегрируете, на пирамиды, в которых переменные упорядочены по величине: $0\leqslant x_{k_1}\leqslant x_{k_2}\leqslant\ldots\leqslant x_{k_n}\leqslant 1$, где $(k_1,k_2,\ldots,k_n)$ - какая-то перестановка чисел $1,2,\ldots,n$. Интеграл по каждой пирамиде легко вычисляется.

[myra_panama]

Someone в сообщении #411082 писал(а):

Разбейте Ваш $n$-мерный куб, по которому Вы интегрируете, на пирамиды, в которых переменные упорядочены по величине: $0\leqslant x_{k_1}\leqslant x_{k_2}\leqslant\ldots\leqslant x_{k_n}\leqslant 1$, где $(k_1,k_2,\ldots,k_n)$ - какая-то перестановка чисел $1,2,\ldots,n$. Интеграл по каждой пирамиде легко вычисляется.

да понято спс..
но что сделать с $max(x_1,x_2,...x_n)$

[Someone]

Как - "что?" В каждой пирамиде он равен самой большой переменной. Которая в конце цепочки неравенств стоит.

[--mS--]

(Оффтоп)

Очень люблю давать эту задачу, только с интегралами до $\theta >0$ и с множителем $\frac{1}{\theta^n}$, на экзамене по математической статистике Но в рамках теории вероятностей или математической статистики это совсем тривиальная задача, единственная проблема в которой - понять, а какое вообще отношение эта задача имеет к предмету. Как только это становится ясно, ответ готов

[Gortaur]

Получается, что это

$$ \lim\limits_{N\to\infty}\mathsf E[\max\limits_{n\leq N}\xi_n], $$

где $\xi_n\sim U[0,\theta]$?

[--mS--]

Да, конечно.

[Gortaur]

И что, хотите сказать, что $\theta$ в ответе?

[svv]

Я решаю вспомогательную задачу:
Найти $I(a)=\int\limits_{0}^{a}\int\limits_{0}^{a}...\int\limits_{0}^{a}\max(x_1,x_2,...x_n)dx_1dx_2...dx_n$

(Оффтоп)

Пусть $f(x)=\max \limits_{1\leqslant i \leqslant n} x_i$. Пусть $K(a)$ -- $n$-мерный куб $0 \leqslant x_i \leqslant a (i=1..n)$. Этот куб является областью интегрирования для $I(a)$.

Сначала найдём $\frac {dI(a)} {da}=\lim \limits_{\Delta a \to 0} \frac {I(a)-I(a-\Delta a)} {\Delta a}$.

Тогда $I(a)-I(a-\Delta a)$ можно рассматривать как интеграл от $f(x)$ по области $K(a) \setminus K(a-\Delta a)$.

Оценим $f(x)$ в этой области. Во-первых, ни одна точка не выходит за пределы куба $I(a)$, поэтому $f(x)\leqslant a$. Во-вторых, ни одна точка не принадлежит кубу $K(a-\Delta a)$, поэтому максимальная координата любой точки больше $a-\Delta a$. Значит, $a-\Delta a< f(x)\leqslant a$. Поэтому при $\Delta a \to 0$ в указанной области $f(x) \to a$. Раз это константа для области $K(a) \setminus K(a-\Delta a)$, она выносится за кратный интеграл, а сам этот интеграл становится объемом области $K(a) \setminus K(a-\Delta a)$. Объем же равен $d(a^n)=n a^{n-1} \Delta a$.

Итак, $\frac {dI(a)} {da}=a n a^{n-1}=n a^n$. Тогда $I(a)=n a^{n+1}/(n+1)$.

[myra_panama]

Цитата:

$\frac {dI(a)} {da}=a n a^{n-1}=n a^n$. Тогда $I(a)=n a^{n+1}/(n+1)$.

отлично , у меня тоже так получился .. при a=1 имеем предел 1 При $n \to \infty$

[--mS--]

(Оффтоп)

Gortaur в сообщении #411139 писал(а):

И что, хотите сказать, что $\theta$ в ответе?

Конечно, поскольку матожидание максимума есть $\frac{n}{n+1}\theta$. Впрочем, вычислять не обязательно: достаточно сходимости матожиданий.