Как выбрать контур интегрирования?!

[integral2009]

svv в сообщении #410809 писал(а):

Подсказка: выражение

$$\dfrac{1-2y_0}{y_0}\cdot \dfrac{x^{-1}-x^{-1}_0}{-1}+\dfrac{1-x}{x}\cdot \dfrac{y^{-1}-y^{-1}_0}{-1}$$

ещё правильное. А дальше получилось бы очень красиво, если не спешить с $C$. Сгруппируйте всё, что без ноликов и всё, что с ноликами.

оО Спасибо!

$$\dfrac{1-2y_0}{y_0}\cdot \dfrac{x^{-1}-x^{-1}_0}{-1}+\dfrac{1-x}{x}\cdot \dfrac{y^{-1}-y^{-1}_0}{-1}=-\dfrac{1-2y_0}{y_0}\cdot ({\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0})-\dfrac{1-x}{x}\cdot( \frac{1}{y}-\frac{1}{y_0})=$$

$$=-\dfrac{1-2y_0}{y_0x}+\dfrac{1-2y_0}{x_0y_0}-\dfrac{1-x}{xy}+\dfrac{1-x}{xy_0}=-\dfrac{1}{y_0x}+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1-2y_0}{x_0y_0}-\dfrac{1-x}{xy}+\dfrac{1}{y_0x}-\dfrac{1}{y_0}=$$

$$=\dfrac{2}{x}-\dfrac{1-x}{xy}+C$$

$$\dfrac{\partial \Phi}{\partial x}=-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{1}{x^2y} = \dfrac{1-2y}{x^2y}$$

$$\dfrac{\partial \Phi}{\partial y}=\dfrac{1-x}{xy^2}$$

[svv]

1) Вот Вы получили, что $\int\limits_{(x_0,y_0)}^{(x,y)} d\Phi=-\dfrac{1}{y_0x}+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1-2y_0}{x_0y_0}-\dfrac{1-x}{xy}+\dfrac{1}{y_0x}-\dfrac{1}{y_0}$. Это можно привести к виду

$$\left[\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{xy}\right]-\left[\dfrac{2}{x_0}+\dfrac{1}{y_0}-\dfrac{1}{x_0y_0}\right]$$

Обратите внимание, что:
-- Все слагаемые удалось чудесным образом разделить на две группы (в квадратных скобках): в одной группе только $x$ и $y$, а в другой только $x_0$ и $y_0$. Это чудо? Почему так получилось?
-- Обе группы имеют поразительно похожий вид. Это чудо? Почему так получилось?
Всё это можно выразить так: существует такая функция, а именно $f(x, y)=\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{xy}$, что $\int\limits_{(x_0,y_0)}^{(x,y)} d\Phi$ можно представить в виде $f(x, y)-f(x_0, y_0)$.

2) А что, собственно, получилось, $\Phi(x, y)$? Нет. Мы пока что просто нашли интеграл $\int\limits_{(x_0,y_0)}^{(x,y)} d\Phi$. И всё. Но мы видим, что этот интеграл зависит только от начальной и конечной точки контура, причем именно вот так:$\int\limits_{(x_0,y_0)}^{(x,y)} d\Phi=f(x, y)-f(x_0, y_0)$.

3) А что значит, что $d\Phi$ -- полный дифференциал? Это значит, что существует такая функция $\Phi(x, y)$, что $\int\limits_{(x_0,y_0)}^{(x,y)} d\Phi=\Phi(x, y)-\Phi(x_0, y_0)$. Вот теперь мы можем сказать: одну такую $\Phi$ мы нашли -- это $f(x, y)$ Никоим образом не всё полученное Вами выражение! только то, что я обозначил через $f(x, y)$. А, возможно, есть и ещё?

4) Но несложно увидеть, что любую другую $\Phi(x, y)$, обладающую таким свойством (что интеграл по пути равен $\Phi(x, y)-\Phi(x_0, y_0)$) можно получить прибавлением произвольной константы $C$ (которая всё равно сократится при взятии разности).

5) Ответ: $\Phi(x, y)=f(x, y)+C=\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{xy}+C$. Но Вы видите теперь, что эта $C$ не имеет отношения к слагаемым с $x_0$, $y_0$ (в смысле -- не образуется из них)?

[integral2009]

svv в сообщении #410958 писал(а):

1)

5) Ответ: $\Phi(x, y)=f(x, y)+C=\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{xy}+C$. Но Вы видите теперь, что эта $C$ не имеет отношения к слагаемым с $x_0$, $y_0$ (в смысле -- не образуется из них)?

Спасибо огромное, svv, за подробнейшее объяснение) Все теперь понятно)