Разложение функции

[myra_panama]

1)Пусть $f(x)=e^{x^3|x|}$ Справедливо ли разложение
$e^{x^3|x|}=1+x^3|x|+\frac{x^8}{2!}+...+\frac{x^{3n}|x|}{n!}+o(x^{4n})$?

и еще такая задачка ....
2)Пусть ,$f(x)=\cos (D(x))$ , где D функция Дирихле . Справедливо ли разложение
$\cos(D(x))=1-\frac{D^2(x)}{2!}+\frac{D^4(x)}{4!}-...-(-1)^{n}\frac{D^{2n}(x)}{(2n)!}+R_{2n+2}(x)$
И как можно найти выражение для
$R_{2n+2}(x)$?

[Sonic86]

Про 1)
1. Выписать ряд Маклорена для $e^t$
2. Подставить $t=x^3|x|$
3. ???????
4. PROFIT!!!

[Gortaur]

2. Для конечного - конечно справедливо, у Вас же там либо $1$, либо $0$ в аргументе. Соответственно у Вас

$$ R_{2n+2}(x) = r_{2n+2}(D(x)). $$

Ну а этот остаток посчитайте как для косинуса - он либо $0$ на рациональных, либо остаток для $\cos{1}$ для иррациональных.
И кстати, уберите степени у функции Дирихле, ей они не к чему. Сходимость думаю даже равномерная будет.
Скучно!