Доказательство

[myra_panama]

Пусть функции f и g вместе со своими производными до n- го порядка включительно непрерывна на [a,b] и имеют производную (n+1) - го порядка в интервале (a,b) . Тогда существует точка $\delta \in (a,b)$ такое ,что

$$ (g(b)-\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{g^{k}(a)}{k!}(x-a)^k)f^{(n+1)}(\delta) =(f(b)-\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{f^{k}(a)}{k!}(x-a)^k)g^{(n+1)}(\delta)$$

.
Доказать это.
задачку честно не знаю откуда.. но у меня конкретные доказательств не получается

[sup]

Куча опечаток ... Что такое $x$, $i$? Скорее всего, вместо $x$ должно фигурировать $b$. А вместо $i=1$ должно быть $k=0$.
Если это действительно так, то это просто теорема Коши о среднем.

[myra_panama]

sup в сообщении #410657 писал(а):

А вместо $i=1$ должно быть $k=0$

Правильно .

$$ (g(b)-\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{g^{k}(a)}{k!}(x-a)^k)f^{(n+1)}(\delta) =(f(b)-\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{k}(a)}{k!}(x-a)^k)g^{(n+1)}(\delta)$$

sup в сообщении #410657 писал(а):

Куча опечаток ... Что такое $x$, $i$? Скорее всего, вместо $x$ должно фигурировать $b$

но здесь переменная x существует........

[sup]

С произвольным $x$ равенство неверно. Действительно, пусть $a=0$, $g(z)=z$ и $n \geqslant 1$. Тогда для любой функции $f$ надо доказать равенство
$(b-x)f^{(n+1)}(\delta)=0$,
что, очевидно, невозможно. А вот если $x=b$, тогда другое дело. Положим
$F(z)=\sum \limits_{k=0}^{n}\frac {f^k (z)}{k!}(b-z)^k$
$G(z)=\sum \limits_{k=0}^{n}\frac {g^k (z)}{k!}(b-z)^k$
Тогда по теореме Коши
$(G(b)-G(a))F'(\delta)=(F(b)-F(a))G'(\delta)$
итд

[myra_panama]

ммм.. да ... sup спасибо за решение..
но я нашел такое указание :
рассмотреть функцию
$\alpha (x)=R_n(b)r_n(x)-R_n (x)r_n(b)$
где,

$$R_n(x)=g(b)-\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{g^{k}(a)}{k!}(x-a)^k $$

$$r_n(x)=f(b)-\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{k}(a)}{k!}(x-a)^k$$

и потом можно ли использовать Теор.КОши о среднем

[sup]

Хм, что-то я не вижу большой помощи от такой $\alpha (x)$. Если и пытаться применить какую-нибудь теорему о среднем, то $(n+1)$-ой производной все равно не появится. А вот чтобы такая производная появилась надо использовать немного другие функции (те, что я указал). Должен отметить, что это не мое изобретение, а известный прием.
Может все таки какие-то опечатки в Вашем источнике?