Задание B4

[Ms-dos4]

Попалось такое задание B4
Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Из него проведена к гипотенузе AB высота CH. Известно что $\[AB = 37\]$ и $\[\tg A = 6\]$. Необходимо найти CH.
Я думаю что решается так. Из треугольника ABC видно что
$\[\tg A = \frac{{CB}}{{AC}}\]$, а так же
$\[C{B^2} + A{C^2} = {37^2}\]$
Решая систему получаем $\[CB = 6\sqrt {37} \]$ а $\[AC = \sqrt {37} \] $
Из треугольника ACH видно что $\[\tg A = \frac{{CH}}{{AH}}\]$, а так же $\[A{H^2} + C{H^2} = A{C^2}\]$. Решая полученную систему получаем что искомая высота равна 6.
Правильно ли решение?

[Someone]

Ms-dos4 в сообщении #410700 писал(а):

Из треугольника ACH видно что $\[tgA = \frac{{CH}}{{AC}}\]$,

Вероятно, всё-таки $\tg A=\frac{CH}{AH}$.
Решение правильное, но, на мой взгляд, слишком сложное. Я бы использовал выражение для косинуса, чтобы найти $AC$, а потом - выражение для синуса, чтобы найти $CH$ (из тех же треугольников, что и у Вас). А потом выразил бы произведение $\cos A\sin A$ через тангенс:

$$\cos A\sin A=\frac{\cos A\sin A}{\cos^2A+\sin^2A}=\frac{\tg A}{1+\tg^2A}\text{.}$$

[Ms-dos4]

Спс

[gris]

Я бы воспользовался тем, что произведение катетов равно произведению гипотенузы на высоту, что немного упростит решение — задача сведётся к системе трёх алгебраических уравнений.

[ewert]

Что-то как-то всё заковыристо. Почему не в лоб, не по шаблону (это же В, а не С!)?... Зная тангенс -- находим косинус и затем синус. Зная синус и косинус -- находим катеты и, следовательно, площадь. Зная площадь -- находим высоту.

[gris]

$a=tb; a^2+b^2=c^2; ab=ch$
Чего тут заковыристого? Зачем искать лишнее?

[ewert]

(Оффтоп)

gris в сообщении #410730 писал(а):

Зачем искать лишнее?

Вот как раз чтоб не думать на пустом месте. Вычисления-то так и так примерно одинаковы, а зачем сочинять системы, когда задача логически явно линейна.

[gris]

(Оффтоп)

Вычисления не одинаковы. Надо вспоминать выражение синуса и косинуса через тангенс, затем не выражать, а по-Вашему явно находить синус, косинус и два катета, площадь! Пять лишних чисел!

Вспоминается школьная логически линейная задача: $38\cdot12\cdot345\cdot0=?$

[ewert]

(Оффтоп)

gris в сообщении #410736 писал(а):

Вычисления не одинаковы.

Да одинаковы, одинаковы. Куда ни кинь -- всюду один клин: корни, деления, ещё чего-то...

У меня есть подозрение, что я Вас смутно понимаю. Я тоже всегда и всем говорю: не знаешь, что делать -- вводи вспомогательные переменные и составляй для них систему. Но тут-то ситуация совсем другая, тут просто невозможно не догадываться о магистральном направлении, тут всё кристально прозрачно.

Впрочем, всё это -- вкусовщина.

[Батороев]

Проводим окружность, используя $AB$ в качестве диаметра.
Получаем $CH=R\cdot \sin {2A}=\dfrac {AB}{2}\cdot \sin {2A}$.
Как найти синус двойного угла, было показано ранее:

Someone в сообщении #410711 писал(а):

$$\cos A\sin A=\frac{\cos A\sin A}{\cos^2A+\sin^2A}=\frac{\tg A}{1+\tg^2A}\text{.}$$