Вычислить Сумму

[myra_panama]

вычисляем сумму так:
$1+2+...+n=\int\limits_{0}^{n}x dx +\sum\limits_{i=1}^{n}i -\int\limits_{0}^{n}x dx=$$\frac{n^2}2 +\sum\limits_{i=1}^{n}(i-\int\limits_{i-1}^{i}x dx)=$$\frac{n^2}2+\sum\limits_{i=1}^{n} \frac12=\frac{n(n+1)}2$
и так последовательно можно вычислить следующих сумм:
$1^2+2^2+...+n^2=\int\limits_{0}^{n}x^2 dx +\sum\limits_{i=1}^{n}i^2 -\int\limits_{0}^{n}x^2 dx$
$1^3+2^3+...+n^3=\int\limits_{0}^{n}x^3 dx +\sum\limits_{i=1}^{n}i^3 -\int\limits_{0}^{n}x^3 dx$,....
Может вопрос очень глупый , но можно ли использовать этот метод для следующих сумм:
$1+\frac12+\frac13+...+\frac1{n}$
$1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+...+\frac1{n^2}$,....
можно ли найти таких трюков для вычисление сумм..........

[Gortaur]

Для данных сумм хороших формул нет - так что данными трюками разве что оценки можно получить.

[ewert]

myra_panama в сообщении #410585 писал(а):

можно ли использовать этот метод для следующих сумм

Нельзя. В первом случае игра строится на том, что выражение вида $(i+t)^n$ после раскрытия скобок порождает конечную сумму, а для отрицательных степеней это не так.

[Sonic86]

myra_panama, см. формулу суммирования Эйлера-Маклорена (Фихтенгольц, 2-й том или Грэхем, Кнут, Паташник Конкретная математика, в последней книге описано несколько подобных приемов вычисления)

Для достаточно медленно растущих функций $f$ будет $\sum f \sim \int f$

ewert писал(а):

Нельзя.

Зато можно асимптотику