Неравенство

[MrDindows]

Хоть предыдущее неравенство так и не домучали, напишу и это:
Для положительных $a,b,c,d$ доказать:
$a^6+b^6+c^6+d^6+abcd(a^2+b^2+c^2+d^2) \ge 2(a^2b^2c^2+a^2c^2d^2+a^2b^2d^2+b^2c^2d^2)$

[DiviSer]

MrDindows в сообщении #396908 писал(а):

Хоть предыдущее неравенство так и не домучали, напишу и это:
Для положительных $a,b,c,d$ доказать:
$a^6+b^6+c^6+d^6+abcd(a^2+b^2+c^2+d^2) \ge 2(a^2b^2c^2+a^2c^2d^2+a^2b^2d^2+b^2c^2d^2)$

Возможно верно более сильное нер-во (хотя незнаю так ли)?:
$a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c) \ge 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

[MrDindows]

Я тоже об этом неравенстве думал) но отношения к первому оно вроде бы не имеет) и доказать его у меня тоже не получилось.

По поводу первого, там походу что-то типа неравенства Шуры надо применить (как мне говорили)

[arqady]

MrDindows в сообщении #396908 писал(а):

Для положительных $a,b,c,d$ доказать:
$a^6+b^6+c^6+d^6+abcd(a^2+b^2+c^2+d^2) \ge 2(a^2b^2c^2+a^2c^2d^2+a^2b^2d^2+b^2c^2d^2)$

$a^6+b^6+c^6+d^6+8\sqrt{a^3b^3c^3d^3} \ge 3(a^2b^2c^2+a^2c^2d^2+a^2b^2d^2+b^2c^2d^2)$ тоже верно.

[DiviSer]

MrDindows в сообщении #397909 писал(а):

Я тоже об этом неравенстве думал) но отношения к первому оно вроде бы не имеет) и доказать его у меня тоже не получилось.

По поводу первого, там походу что-то типа неравенства Шуры надо применить (как мне говорили)

я так понял оно применимо и для 2-го неравенства:
$a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c) \ge 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$
$a^4+b^4+c^4+(-a^3-b^3-c^3+a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b-2abc)(a+b+c) \ge 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$
а если раскрыть скобки то последнее неравенство превращается в равенство. то есть верно.
а 1-е неравенство вытекало непосредственно из 2-го:
из четырхе неравенств
$(a^4+b^4+c^4)d^2+abcd^2(a+b+c) \ge 2(a^2b^2d^2+b^2c^2d^2+c^2a^2d^2)$
$(a^4+b^4+d^4)c^2+abdc^2(a+b+d) \ge 2(a^2b^2c^2+b^2d^2c^2+d^2a^2c^2)$
$(a^4+c^4+d^4)d^2+acdb^2(a+c+d) \ge 2(a^2c^2b^2+a^2d^2b^2+c^2d^2b^2)$
$(b^4+c^4+d^4)a^2+bcda^2(b+c+d) \ge 2(b^2c^2a^2+b^2d^2a^2+c^2d^2a^2)$

вытекает неравенство:
$3(a^6+b^6+c^6+d^6)+abcd(2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd) \ge 6(a^2b^2c^2+a^2c^2d^2+a^2b^2d^2+b^2c^2d^2)$ а след-но и
$a^6+b^6+c^6+d^6+abcd(a^2+b^2+c^2+d^2) \ge 2(a^2b^2c^2+a^2c^2d^2+a^2b^2d^2+b^2c^2d^2)$ так как
$3(a^2+b^2+c^2+d^2) \ge (2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd)$

[MrDindows]

Большое спасибо)

[arqady]

Следуюшее неравенство ещё сильнее.
Для неотрицательных $a$, $b$, $c$ и $d$, одновременно неравных нулю, докажите, что:

$$a^3+b^3+c^3+d^3+\frac{32abcd}{a+b+c+d} \ge 3(abc+abd+acd+bcd)$$

[myra_panama]

arqady в сообщении #398794 писал(а):

Следуюшее неравенство ещё сильнее.
Для неотрицательных $a$, $b$, $c$ и $d$, одновременно неравных нулю, докажите, что:

$$a^3+b^3+c^3+d^3+\frac{32abcd}{a+b+c+d} \ge 3(abc+abd+acd+bcd)$$

Имеем : $a^3 +b^3 +c^3 +d^3 -3(abc+bcd+acd+abd)$ = $(a+b+c+d)(a^2+b^2+c^2+d^2-ab-ac-ad-bc-bd-cd )$ отсюда подставим эту выражению в неравенстве получаем:
$(a+b+c+d)^2 (a^2+b^2+c^2+d^2-ab-ac-ad-bc-bd-cd )+32abcd\ge0$
$(a+b+c+d)^2(\frac12(a-b)^2+\frac12(a-c)^2+\frac12(a-d)^2+\frac12(b-c)^2+\frac12(b-d)^2)+\frac12(c-d)^2) + 32abcd\ge0$

а дальще с 32abcd ...... думаю...

[MrDindows]

myra_panama в сообщении #404442 писал(а):

$(a+b+c+d)^2 (a^2+b^2+c^2+d^2-ab-ac-ad-bc-bd-cd )+32abcd\ge0$
$(a+b+c+d)^2(\frac12(a-b)^2+\frac12(a-c)^2+\frac12(a-d)^2+\frac12(b-c)^2+\frac12(b-d)^2)+\frac12(c-d)^2) + 32abcd\ge0$

Вы неверно преобразовали.
$a^2+b^2+c^2+d^2-ab-ac-ad-bc-bd-cd \not =\frac12(a-b)^2+\frac12(a-c)^2+\frac12(a-d)^2+\frac12(b-c)^2+\frac12(b-d)^2)+\frac12(c-d)^2$

[myra_panama]

[MrDindows]

Верно ли
$(x_1+x_2+...+x_n)^2 \ge n(x_1x_2+x_2x_3+...+x_nx_1)$
И с помощью чего это доказать?

[arqady]

MrDindows в сообщении #410611 писал(а):

Верно ли
$(x_1+x_2+...+x_n)^2 \ge n(x_1x_2+x_2x_3+...+x_nx_1)$
И с помощью чего это доказать?

Начиная с $n=5$ уже неверно.

[MrDindows]

Спасибо...тогда как доказать с помощью Йенсена ( для положительных $x_i$):
$\frac{x_1}{x_2+x_3}+\frac{x_2}{x_3+x_4}+...+\frac{x_n}{x_1+x_2} \ge \frac{n}{2}$
Я пробовал на прямую для $f(x)=\frac1x, \ \alpha=\frac1n$, но получил обратное:
$\frac{x_1}{x_2+x_3}+\frac{x_2}{x_3+x_4}+...+\frac{x_n}{x_1+x_2} \ge \frac{n^2}{\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_3}{x_1}+\frac{x_3}{x_2}+...+\frac{x_1}{x_n}+\frac{x_2}{x_n}}$ \le \frac{n}{2}

[arqady]

MrDindows в сообщении #410735 писал(а):

Спасибо...тогда как доказать с помощью Йенсена ( для положительных $x_i$):
$\frac{x_1}{x_2+x_3}+\frac{x_2}{x_3+x_4}+...+\frac{x_n}{x_1+x_2} \ge \frac{n}{2}$

Это известное неравенство Шапиро, которое неверно в общем случае.

[MrDindows]

Хм, а в каком случае оно верно? Кроме $n \le 4$