Была идея найти экстремумы и сравнить их "высоту". Точки экстремума легко находятся (там получается биквадратное уравнение):

(

независимы). Но если это посдтавить в исходный многочлен, ничего там не сокращается и выглядит плохо.
Разумная идея. Собственно, отсюда уже всё видно. Экстремумов (точнее, стационарных точек) может быть 0, 1, 2 или 4. Легко понять (хотя не так быстро объяснить формально), что тройной корень не в нуле возможен (и будет) лишь тогда, когда попарно сливаются стационарные точки слева и справа, т.е. когда равен нулю внутренний корень. Это даёт Ваши условия

,

и значение самого корня:

или

; подстановка каждого из них в уравнение даёт два варианта выражения

через

.
Ну или, да, просто формально найти общее решение системы уравнений:

(решение будет, разумеется, однопараметрическим).
Да, и для приличия: надо всё-таки формально доказать (это легко), что во всех найденных случаях корень не окажется
четырёхкратным.