Задачка про корни многочлена

[caxap]

При каких условиях многочлен $x^5+10ax^3+5bx+c$ имеет тройной корень, отличный от нуля.

Была идея найти экстремумы и сравнить их "высоту". Точки экстремума легко находятся (там получается биквадратное уравнение): $x=\pm\sqrt{-3a\pm \sqrt{9a^2-b}}$ ($\pm$ независимы). Но если это посдтавить в исходный многочлен, ничего там не сокращается и выглядит плохо. Может я вообще не той дорогой иду?

[venco]

В тройном корне вторая производная равна нулю. Это сильно ограничивает возможности. Осталось добавить равность нулю первой производной и самой функции...

[caxap]

venco в сообщении #410278 писал(а):

В тройном корне вторая производная равна нулю.

... это должно быть очевидно?

[ИСН]

Ну э. ну кагбе да, а что? Корни производной находятся между корнями многочлена, следовательно...

[Legioner93]

caxap в сообщении #410281 писал(а):

venco в сообщении #410278 писал(а):

В тройном корне вторая производная равна нулю.

... это должно быть очевидно?

Это следует из теоремы Ролля (двукратного применения).

[Xaositect]

Это еще проще следует из определения кратного корня: тупо дифференцируем $f(x) = (x-a)^3g(x)$

[caxap]

Да, ясно, я туплю.

У меня получилось условие $9a^2-b=0$. А для $c$ как найти?

[venco]

caxap в сообщении #410302 писал(а):

Да, ясно, я туплю.

У меня получилось условие $9a^2-b=0$. А для $c$ как найти?

Сам многочлен тоже должен быть равен нулю.
И это не все решения.

[caxap]

Получилось $b=9a^2$, $c=\pm 24\sqrt 3 (-a)^{5/2}$

venco в сообщении #410322 писал(а):

И это не все решения.

Случай $x=0$ мы исключаем. А что ещё там остаётся?

[venco]

caxap в сообщении #410353 писал(а):

Получилось $b=9a^2$, $c=\pm 24\sqrt 3 (-a)^{5/2}$

venco в сообщении #410322 писал(а):

И это не все решения.

Случай $x=0$ мы исключаем. А что ещё там остаётся?

Не заметил. Тогда всё.
Не забудьте условие на $a$.

[caxap]

venco в сообщении #410355 писал(а):

Не забудьте условие на $a$ .

$a<0$?

[ewert]

caxap в сообщении #410275 писал(а):

Была идея найти экстремумы и сравнить их "высоту". Точки экстремума легко находятся (там получается биквадратное уравнение): $x=\pm\sqrt{-3a\pm \sqrt{9a^2-b}}$ ($\pm$ независимы). Но если это посдтавить в исходный многочлен, ничего там не сокращается и выглядит плохо.

Разумная идея. Собственно, отсюда уже всё видно. Экстремумов (точнее, стационарных точек) может быть 0, 1, 2 или 4. Легко понять (хотя не так быстро объяснить формально), что тройной корень не в нуле возможен (и будет) лишь тогда, когда попарно сливаются стационарные точки слева и справа, т.е. когда равен нулю внутренний корень. Это даёт Ваши условия $9a^2-b=0$, $a<0$ и значение самого корня: $x=\sqrt{-3a}$ или $x=-\sqrt{-3a}$; подстановка каждого из них в уравнение даёт два варианта выражения $c$ через $a$.

Ну или, да, просто формально найти общее решение системы уравнений:
$\begin{cases}x^5+10ax^3+5bx+c=0\\5x^4+30ax^2+5b=0\\20x^3+60ax=0\end{cases}$
(решение будет, разумеется, однопараметрическим).

Да, и для приличия: надо всё-таки формально доказать (это легко), что во всех найденных случаях корень не окажется четырёхкратным.

[caxap]

ewert в сообщении #410466 писал(а):

надо всё-таки формально доказать (это легко), что во всех найденных случаях корень не окажется четырёхкратным.

Тогда третья производная $60x^2+60a=0\iff x=\pm\sqrt{-a}\neq\sqrt{-3a}$ ($a\neq 0$).