Про множества (всех множеств)

[Sasha2]

Известно, что вот выражение: "МНОЖЕСТВО ВСЕХ МНОЖЕСТВ" противоречиво.
Вот так с ходу не могу понять, а вот противоречиво или нет, например, такое выражение: "МНОЖЕСТВО ВСЕХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ"?

Короче это вот словечно "ВСЕХ" как-то очень смущает.

[ИСН]

Этих - можно. То ли их "мало", то ли они не могут быть элементами самих себя... короче, посмотрите, откуда возникают парадоксы с множеством всех множеств.

[AD]

Sasha2 в сообщении #410160 писал(а):

а вот противоречиво или нет

Подсказка: никто не знает

[Someone]

ИСН в сообщении #410164 писал(а):

Вот так с ходу не могу понять, а вот противоречиво или нет, например, такое выражение: "МНОЖЕСТВО ВСЕХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ"?

Короче это вот словечно "ВСЕХ" как-то очень смущает.

Да. В каком смысле - "всех"? Если фиксируете какое-нибудь $\mathbb R^n$ и рассмотрите множество всех треугольников в нём, ничего плохого не будет, поскольку каждый такой треугольник - это подмножество $\mathbb R^n$, а множество всех подмножеств заданного множества - это вполне законное множество.

Sasha2 в сообщении #410160 писал(а):

Известно, что вот выражение: "МНОЖЕСТВО ВСЕХ МНОЖЕСТВ" противоречиво.

Но если Вы не будете называть совокупность всех множеств (в какой-либо теории множеств) множеством, то ничего плохого не будет.

[Sasha2]

Ну короче, я так понимаю, что правильно будет рассматривать множество всех треугольников, предварительно корректно определив множество всех допустимых точек.

[svv]

Sasha2 писал(а):

предварительно корректно определив множество всех допустимых точек

А это значит -- выбрать пространство, в котором будете работать. Множество его точек -- и есть множество допустимых точек, если нет других ограничений.

[ewert]

У Рассела парадокс возник из-за того, что не было чётко определено понятие "множество ваще". Т.е. не было зафиксировано, чем "множество" отличается от "немножества". Ну Рассел и попытался с этой проблемой бороться.

В случае с треугольниками подобной проблемы не возникает: все знают, что бывают и нетреугольники, и чем первые отличаются от вторых.

[Sasha2]

Ну хорошо, а тогда имеет ли смысл такое множество: "МНОЖЕСТВО ВСЕХ МНОЖЕСТВ ТРЕУГОЛЬНИКОВ"?

[Someone]

Нет, такое множество определить нельзя. Парадокс Рассела - не единственная проблема.

[ИСН]

Минуточку, а что с ним не так? Множество всех подмножеств $\mathbb R$ у нас же есть?

[Someone]

Возможно, проблема опять в толковании слова "всех".
У нас же, вообще говоря, не один экземпляр $\mathbb R$, множество действительных чисел можно построить из любых элементов, взяв их в надлежащем количестве. В итоге мы получим что-то подозрительно напоминающее множество всех множеств (хотя, конечно, не его именно).

[Sasha2]

Ага, значит если я правильно понимаю, то парадокс Раселла (и другие сходие парадоксы) связан не с тем, что у нас изначально вроде бы не было достаточно корректного определения, что же все таки за зверь это множество, а с этим пресловутым словечком "ВСЕХ", которое и вносит всю эту путаницу.

[Buba]

ИСН в сообщении #410164 писал(а):

... откуда возникают парадоксы с множеством всех множеств.

Множество всех всевозможных отношений элементов данного множества, пусть даже оно пустое - грандиозно и принципиально не структурируемо. (Г. Вейль и не только...).
Вот настоящий источник парадоксов. Можно только выбрать некоторую его часть, этого "множества всех множеств", выбреть креативно, с помощью аксиом. Но определенное таким образом множество не может быть не противоречивым, по К. Геделю...

Однако, сама природа справляется с этим парадоксом, и без всякого глубокомыслия. И следовательно, "множество всех множеств" представляет собой замкнутое счетное множество, нам до сих пор неизвестное. В противном случае существование невозможно.
Я так думаю...
И пожалуй, можно найти некоторый математический механизм, порождающий некоторое изначальное множество для фактов существования всего необозримого многообразия действительности, как это не ужасно...
Но тогда не отношения - результат заранее заданного множества, а наоборот, сам факт существования элементов множества - результат их отношений (взаимообусловленности), до того не существующих.
То есть конструктивность всюду раньше последовательности. И тогда даже простанственно-временная определенность - оказывается явлением, а не "заранее заданным" условием существования природы.

[bnovikov]

Buba в сообщении #496061 писал(а):

Множество всех всевозможных отношений элементов данного множества, пусть даже оно пустое - грандиозно и принципиально не структурируемо. (Г. Вейль и не только...). [/i]

Любопытно. Где это можно прочитать?

[Buba]

bnovikov в сообщении #496065 писал(а):

Buba в сообщении #496061 писал(а):

Множество всех всевозможных отношений элементов данного множества, пусть даже оно пустое - грандиозно и принципиально не структурируемо. (Г. Вейль и не только...). [/i]

Любопытно. Где это можно прочитать?

Например, Г. Вейль "Структура математики", УМН, 1956г.
Однако, если мы не будем изобретать язык иерокезский..., то из без того очевидно, что множество всех всевозможных отношений элементов множества невозможно перечислить никаким образом. Всегда найдется формула, не соответствующая заранее заданному алгоритму. Именно таким образом К. Гедель на веки "опустил" аксиомофилию... И именно так называл эту тенденцию совр. матаматики В. И. Арнольд. Кстати, он оч. сокрушался, что студентов уродуют именно аксиомофилы, но повидимиму они от этого не страдают...

Эта тендеция оч. агрессивна, но если бы ее не было, то мы давно бы пришли к определению понятий (языка, но и объектов физической природы) с их внешней стороны, со стороны их некоторой конструктивной взаимосвязанности, взаимообусловленности, я так думаю,
(без "заранее заданных" "вещей в себе" и парадоксов, как это и подобает естеству, или хотя бы в соответствии с ур-ниями Максвелла).