2.5, Вы не расстраивайтесь...
Вдогонку хочу сказать еще несколько вещей -- вдруг не будет другого повода?
Об определителе

(кстати,

и

равны). Известно, что ранг антисимметричной матрицы может быть только чётным. В нашем случае это только

,

или

.
Случай

самый сложный с точки зрения структуры

(и

) -- общий случай антисимметричного тензора второго ранга, но он самый ограничительный для

.
Случай

возможен лишь, если все компоненты

(и тем самым

) равны нулю. Так что эти два случая совершенно неинтересны.
Остается случай ранга

. Он возможен, если

-- бивектор, то есть имеет структуру

. Два вектора

и

натягивают двумерную плоскость, любой вектор в которой "ортогонален" градиенту (точнее, аннулирует форму

, то есть

,

и то же для их линейных комбинаций). Здесь всё-таки остается небольшая "двумерная" свобода для градиента.
Теперь по поводу Ваших вопросов. Рекомендуется обозначить произведение

через

Далее

только в этом смысле. Надеюсь, путаницы между старым и новым

не будет. Мы
переходим к общему случаю и рассматриваем

как произвольный антисимметричный тензор, гладко зависящий от координат, для которого гарантируется, что

. Можно ли найти

, такой, что

и если да, то как это сделать? (Заметьте, что я потихоньку ввёл "электромагнитные" обозначения.)
На языке дифференциальных форм задача имеет такой (абсолютно классический) вид. Дана
замкнутая 2-форма

(т.е.

). Является ли она
точной (т.е. существует ли такая 1-форма

, что

)? Если да, то как найти

?
"Лемма Пуанкаре утверждает, что любая замкнутая форма в односвязной области конечномерного пространства точна" (Википедия, статья Скалярный потенциал).
"The Poincaré lemma states that if

is a contractible open subset of

, any smooth closed

-form

defined on

is exact, for any integer

" (Английская Википедия, статья Closed and exact differential forms).
Как именно находить форму

, если известен её внешний дифференциал

-- вопрос к математикам (я физик). Можно заметить, что если Вы нашли одно решение

, то любое решение имеет вид

(в тензорных обозначениях

).
Вы можете пойти физическим путём и найти по тензору

источники -- токи

, а по ним --

как запаздывающие электромагнитные потенциалы.