Задачка про тензорное поле.

[2.5]

Задача: по заданному полю $\phi(x)$ и постоянному (не зависящему от $x$) антисимметричному тензору $F_\mu_\nu$, найти такое векторное поле $B_\mu(x)$, что $B_\mu_\nu(x)={\partial_\mu}B_\nu(x) - {\partial_\nu}B_\mu(x) = {F_\mu_\nu}{\phi}(x)$
Все поля достаточно гладкие. Инденкс бегает 0,1,2,3 (обычный Минковский).
Довольно долго возился, начал сомневаться что такое поле, вообще говоря, можно подобрать. В импульсном представлении (фурье-преобразование) получится
${k_\mu}{B_\nu}(k)-{k_\nu}{B_\mu}(k)={F_\mu_\nu}{\phi}(k)$
Казалось бы, простая алгебраическая система, но как ней подступиться не знаю.

[svv]

2.5 писал(а):

Довольно долго возился, начал сомневаться что такое поле, вообще говоря, можно подобрать.

Правильно стали сомневаться: вообще говоря -- нельзя, а можно только в исключительном случае.

Дело в том, что левая часть $B_{\mu\nu}$ в силу своего определения удовлетворяет тождеству
$\partial_\lambda B_{\mu\nu}+\partial_\nu B_{\lambda\mu}+\partial_\mu B_{\nu\lambda}=0$

Тогда и поля $F$, $\varphi$ не могут быть произвольными, а только такими, что
$F_{\mu \nu} \partial_\lambda \varphi+ F_{\lambda \mu} \partial_\nu \varphi +F_{\nu \lambda} \partial_\mu \varphi=0$
Это и есть упомянутый исключительный случай.

[2.5]

svv
Действительно, я совсем забыл про это. Но можно ли быть уверенным, что помимо тождества Бъянки не возникнет ограничений? И как бы можно было бы получить ответ в явном виде в этом случае?

[svv]

Перед тем как обсудить с Вами эти интересные вопросы, я немного попугаю Вас этим условием, $F_{\mu \nu} \partial_\lambda \varphi+ F_{\lambda \mu} \partial_\nu \varphi +F_{\nu \lambda} \partial_\mu \varphi=0$.

Его смысл легко увидеть, если ввести дуальное поле $^* F$. Тогда получим, что $(^*F)^{\lambda \mu} \partial_\mu \varphi = 0$. (С этим всё понятно?) Это 4 линейных однородных уравнения для 4 компонент градиента $\varphi$. Если только матрица $^*F$ невырождена (а это общий случай), это значит, что градиент равен нулю, т.е. скалярное поле $\varphi$ равно константе.

[2.5]

svv в сообщении #409986 писал(а):

Перед тем как обсудить с Вами эти интересные вопросы, я немного попугаю Вас этим условием .

Вы знаете, это действительно оказалось очень страшно. Спасибо, вопрос закрыт -_-

[svv]

2.5, Вы не расстраивайтесь...

Вдогонку хочу сказать еще несколько вещей -- вдруг не будет другого повода?

Об определителе $^*F$ (кстати, $\det(^*F)$ и $\det(F)$ равны). Известно, что ранг антисимметричной матрицы может быть только чётным. В нашем случае это только $4$, $2$ или $0$.
Случай $4$ самый сложный с точки зрения структуры $^*F$ (и $F$) -- общий случай антисимметричного тензора второго ранга, но он самый ограничительный для $\varphi$.
Случай $0$ возможен лишь, если все компоненты $^*F$ (и тем самым $F$) равны нулю. Так что эти два случая совершенно неинтересны.

Остается случай ранга $2$. Он возможен, если $^*F$ -- бивектор, то есть имеет структуру $(^*F)^{\mu \nu}=a^\mu b^\nu - a^\nu b^\mu$. Два вектора $a$ и $b$ натягивают двумерную плоскость, любой вектор в которой "ортогонален" градиенту (точнее, аннулирует форму $\partial_\mu \varphi$, то есть $a^\mu \partial_\mu \varphi=0$, $b^\mu \partial_\mu \varphi=0$ и то же для их линейных комбинаций). Здесь всё-таки остается небольшая "двумерная" свобода для градиента.

Теперь по поводу Ваших вопросов. Рекомендуется обозначить произведение $F_{\mu\nu} \varphi(x)$ через $F_{\mu\nu}(x)$ Далее $F$ только в этом смысле. Надеюсь, путаницы между старым и новым $F$ не будет. Мы переходим к общему случаю и рассматриваем $F$ как произвольный антисимметричный тензор, гладко зависящий от координат, для которого гарантируется, что $\partial_\lambda F_{\mu\nu}+\partial_\nu F_{\lambda\mu}+\partial_\mu F_{\nu\lambda}=0$. Можно ли найти $A_\nu$, такой, что $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$ и если да, то как это сделать? (Заметьте, что я потихоньку ввёл "электромагнитные" обозначения.)

На языке дифференциальных форм задача имеет такой (абсолютно классический) вид. Дана замкнутая 2-форма $F$ (т.е. $dF=0$). Является ли она точной (т.е. существует ли такая 1-форма $A$, что $F=dA$)? Если да, то как найти $A$?

"Лемма Пуанкаре утверждает, что любая замкнутая форма в односвязной области конечномерного пространства точна" (Википедия, статья Скалярный потенциал).
"The Poincaré lemma states that if $X$ is a contractible open subset of $\mathbb{R}^n$, any smooth closed $p$-form $\alpha$ defined on $X$ is exact, for any integer $p > 0$" (Английская Википедия, статья Closed and exact differential forms).

Как именно находить форму $A$, если известен её внешний дифференциал $F=dA$ -- вопрос к математикам (я физик). Можно заметить, что если Вы нашли одно решение $A$, то любое решение имеет вид $A+d \psi$ (в тензорных обозначениях $A_\mu + \partial_\mu \psi$).

Вы можете пойти физическим путём и найти по тензору $F$ источники -- токи $j^{\mu}=\nabla_\nu F^{\mu\nu}$, а по ним -- $A_{\mu}$ как запаздывающие электромагнитные потенциалы.

[2.5]

svv
Вы знаете, я тоже не математик. И мне на самом-то деле интересен случай когда у $F_{\mu\nu}$ ранг 2 (в моей конкретной задаче он соответствует однородному и постоянному внешнему магнитному полю). Однако вопрос, который меня привел к той математической задаче, что я сформулировал - можно ли осуществить замену координат $\phi->B_\mu$ (точнее, я бы хотел ввести новое поле $B_\mu$ , так чтобы мое старое ЭМП $A_{\mu\nu}$ и скалярное поле были связаны с ним как$ B_{\mu\nu}=A_{\mu\nu}+F_{\mu\nu}\phi$? И ответ все-таки отрицательный, т.к. замена будет предполагать что, например в случае магнитного поля вдоль оси $z$ (порождаемого $F_{\mu\nu}$) на $\phi$ есть условие $\partial_z\phi=0$ в то время как я хочу описать произвольное скалярное поле.
И спасибо за замечания по поводу общего случая. А я сам и не увидел, что мой конкреный вопрос вкладывается в тот весьма естсвенный, ответ на который Вы привели.