Почему комплексные числа "работают" на практике ?

[Munin]

Вы древних людей недооцениваете. Их затруднения были посерьёзней, чем вы себе представляете. Так что по-хорошему, вы должны были бы к своему доказательству приложить несколько томов Бурбаки, включая теорию множеств, матлогику и построение действительных чисел.

[Shtirlic]

_hum_ в сообщении #409046 писал(а):

2Shtirlic

Да, я так себе пока все и объясняю. Единственный момент, как я уже говорил - это то, что такое объяснение проходит только для алгебраических задач и алгебраических методов их решения. Но пока для меня не факт, что этим исчерпываются все ситуации, в которых могут появляться комплексные числа.

P.S. Отрадно, что хоть кто-то смог заглянуть в корень проблемы и дать конкретный ответ :)

Почему не факт? Если доказана верность всех преобразований. Вот вам еще пример, рекуррентное соотношение $x_{n}=x_{n-1}+x_{n-2},x_1=1,x_2=1$, числа Фибоначчи. Ясно, что все эти числа натуральные. Но вы решите рекуррентное соотношение и формула через $n$ будет содержать иррациональное число $\sqrt{5}$, а после подстановки конкретного $n$ получится опять натуральное число. Для решения задачи натуральных чисел вышли во множество действительных, а потом вернулись обратно. Здесь вас что-нибудь смущает?
А в первоначальной постановки задачи Фобиначчи, сказать даже четверть пары кроликов, как-то не очень, правда?

[alex1910]

Shtirlic в сообщении #409219 писал(а):

_hum_ в сообщении #409046 писал(а):

2Shtirlic

Да, я так себе пока все и объясняю. Единственный момент, как я уже говорил - это то, что такое объяснение проходит только для алгебраических задач и алгебраических методов их решения. Но пока для меня не факт, что этим исчерпываются все ситуации, в которых могут появляться комплексные числа.

P.S. Отрадно, что хоть кто-то смог заглянуть в корень проблемы и дать конкретный ответ :)

Почему не факт? Если доказана верность всех преобразований. Вот вам еще пример, рекуррентное соотношение $x_{n}=x_{n-1}+x_{n-2},x_1=1,x_2=1$, числа Фибоначчи. Ясно, что все эти числа натуральные. Но вы решите рекуррентное соотношение и формула через $n$ будет содержать иррациональное число $\sqrt{5}$, а после подстановки конкретного $n$ получится опять натуральное число. Для решения задачи натуральных чисел вышли во множество действительных, а потом вернулись обратно. Здесь вас что-нибудь смущает?
А в первоначальной постановки задачи Фобиначчи, сказать даже четверть пары кроликов, как-то не очень, правда?

Никто никогда не использовал и использовать не будет явную формулу для чисел Фибоначчи. Считать рекуррентно получается быстрее.

[_hum_]

Munin в сообщении #409189 писал(а):

Вы древних людей недооцениваете. Их затруднения были посерьёзней, чем вы себе представляете. Так что по-хорошему, вы должны были бы к своему доказательству приложить несколько томов Бурбаки, включая теорию множеств, матлогику и построение действительных чисел.

Зачем же обосновывать всю математику, когда в данном случае достаточно просто объяснить идею алгебраического расширения, обращая внимание на то, что всякое решение алгебраической задачи в исходном поле будет содержаться среди решений соответствующей задачи в расширенном.

[Munin]

_hum_ в сообщении #409441 писал(а):

Зачем же обосновывать всю математику, когда в данном случае достаточно просто объяснить идею алгебраического расширения, обращая внимание на то, что всякое решение алгебраической задачи в исходном поле будет содержаться среди решений соответствующей задачи в расширенном.

А как вы объясните, что ваши выводы о соотношении исходной и расширенной задачи справедливы, если не предъявите матлогики? Основания математики - имхо, тесный узел, и по частям на них ссылаться особо не получается.

[Shtirlic]

alex1910 в сообщении #409423 писал(а):

Никто никогда не использовал и использовать не будет явную формулу для чисел Фибоначчи. Считать рекуррентно получается быстрее.

Начнем с того, что это был просто пример решения задачи натуральных чисел с выходом в вещественную область и возвращением обратно.
Во-вторых, давайте не будем так категоричны. Все зависет от среды в которой вы что либо решаете. В том же excel, можно занять 200 ячеек, а можно две.
Да и с точки анализа, частенько бывает проще имея явный вид последовательности (я сейчас не только про Фибоначчи)

[_hum_]

Munin в сообщении #409522 писал(а):

_hum_ в сообщении #409441 писал(а):

Зачем же обосновывать всю математику, когда в данном случае достаточно просто объяснить идею алгебраического расширения, обращая внимание на то, что всякое решение алгебраической задачи в исходном поле будет содержаться среди решений соответствующей задачи в расширенном.

А как вы объясните, что ваши выводы о соотношении исходной и расширенной задачи справедливы, если не предъявите матлогики? Основания математики - имхо, тесный узел, и по частям на них ссылаться особо не получается.

Честно говоря, не вижу необходимости привлечения мат. логик для объяснения идеи расширения поля. Самый трудный момент здесь (для того же ученого) - это понять, что оперирование числами ничем не отличается от оперирования их представителями - некоторыми абстрактными объектами, между которыми существуют те же соотношения (то есть, сместить акцент с чисел на операции). Ну и какие очевидные выводы отсюда следуют. А для этого можно обойтись "обиходной" (формальной) логикой (зачем "стрелять из пушки по воробьям"?).

[PAV]

Тема перемещается из "Помогите решить/разобраться" в дискуссионный раздел (М)

[Munin]

_hum_ в сообщении #409530 писал(а):

Честно говоря, не вижу необходимости привлечения мат. логик для объяснения идеи расширения поля. Самый трудный момент здесь (для того же ученого) - это понять, что оперирование числами ничем не отличается от оперирования их представителями - некоторыми абстрактными объектами, между которыми существуют те же соотношения (то есть, сместить акцент с чисел на операции).

Вот и как вы этот трудный момент объясните? Древний учёный - он хоть и древний, но не дурак, он на слово не поверит, и воодушевлённое размахивание руками его не убедит.

_hum_ в сообщении #409530 писал(а):

А для этого можно обойтись "обиходной" (формальной) логикой (зачем "стрелять из пушки по воробьям"?).

Наша "обиходная" формальная логика - сравнительно позднее изобретение. Кардано и Тарталья о ней были не в курсе. Впрочем, я действительно не призываю задействовать весь аппарат современной матлогики, думаю, что можно ограничиться тем, что излагают на первом курсе. Но я в этом не уверен, поскольку не знаком хорошо с этим предметом.

[Xaositect]

Можно везде вместо комплексных чисел говорить о квадратных трехчленах, корнями которых они являются. Ведь действительные задачи симметричны относительно комплексного сопряжения.

[ewert]

Xaositect в сообщении #409658 писал(а):

Можно везде вместо комплексных чисел говорить о квадратных трехчленах, корнями которых они являются.

Нельзя. Кроме того, трёхчлены складывать неудобно.

[Someone]

_hum_ в сообщении #407258 писал(а):

Есть ли какое-нибудь объяснение тому, что комплексные числа "работают" на практике. Вот что имею в виду:
с практикой непосредственно связаны только рациональные числа - они имеют содержательную интерпретацию , например, такую - m/n отвечает комбинированию операции соединения m одинаковых эталонов друг с другом и операции разделения на n равных частей.

Ну, давайте возьмём, например, 5 одинаковых атомов водорода и разделим их на 7 равных частей.
Вы, кстати, не замечаете, что "одинаковые эталоны" или "одинаковые части" - это довольно абстрактные вещи, на практике обычно не встречающиеся?

_hum_ в сообщении #407258 писал(а):

Вещественные - уже абстрактны (задействуют бесконечность)

На самом деле уже натуральные числа совершенно абстрактны и не обходятся без бесконечности. В природе их нет точно так же, как нет действительных или комплексных. Просто Вы к действительным числам привыкли, а к комплексным - нет.

_hum_ в сообщении #407258 писал(а):

хотя еще допускают содержательную интерпретацию как те же операции соединения и разделения, только с возможностью комбинирования бесконечного числа этих операций. И вроде как понятно, почему они "работают" - потому как всегда приближаются рациональными.

Вероятно, Вы знаете второй закон Ньютона: $F=ma$ (в современной записи), где $a$ - ускорение тела, $m$ - его масса, $F$ - равнодействующая всех действующих на него сил. Умножение чисел (не важно, натуральных, рациональных или действительных) осуществляется известным алгоритмом умножения "в столбик": "шестью семь - сорок два, два пишем, четыре в уме...". Вы можете объяснить, какое отношение этот алгоритм имеет к ускорению тела под действием приложенной к нему силы? (И к множеству других разнообразных явлений, в описании которых участвует умножение.)

_hum_ в сообщении #407258 писал(а):

А вот как быть с комплексными: ...

Может быть, Вас утешит, что мы могли бы вообще исключить комплексные числа, просто заменив их парами действительных? Только вместо каждой формулы придётся писать две, причём, более громоздких. Например, вместо одной комплексной формулы $z=c^2$ можно написать две действительных: $x=a^2-b^2$ и $y=2ab$.

P.S. Если говорить о чисто практических вопросах, то там обходятся конечными десятичными дробями (или двоичными, или шестидесятиричными, или ещё какими-нибудь "...ичными").

[Xaliuss]

ИМХО один из лучших примеров использования аппарата комплексных чисел - теория диффуров (систем или n-ой степени) и операторов (в том числе матриц). Все коэффициенты могут быть действительными, но в теории без комплексных чисел обойтись практически невозможно, даже для конкретных задач. Сами задачи являются отражениями реальных физических процессов.

[dmd]

Древние решали задачи, возникающие в быту, в синтаксисе арифметики. Алгебраический синтаксис стал складываться в 15-16 веках, когда потребовалось формализовать решение уравнений. Комплексные числа пришли с задачками типа "разбить число 8 на две части так, чтобы произведение частей было равно 40". Ньютон такие числа называл "невозможными". У него есть изящное рассуждение про чётность невозможных корней уравнения, где он рассматривает точки пересечения окружности и эллипса. Думаю, чисто технически можно было бы и не вводить комплексные числа при формировании алгебры, но тогда эта алгебра будет без "нашей" основной теоремы алгебры и неизбежно с некоторыми логическими операторами, отсекающими невозможные корни уравнений. И тут возникает интересный вопрос - возможно ли создание такого непротиворечивого алгебраического синтаксиса, пусть сложнее "нашего" на первых шагах описания синтаксиса, но много эффективнее в дальнейшем при решении уравнений (не только алгебраических, но и аналитических - дифференциальных и интегральных). Подобное наблюдается в алгоритмике - чрезвычайно сложно создать оптимальный компилятор, но зато как эффективно им пользоваться!
В целом мой ответ на вопрос топика таков - комплексные числа "работают" ровно на столько, насколько они сглаживают ущербность исходного алгебраического синтаксиса. Т.е. оно не ответ, а скорее вопрос самому себе - быть может синтаксис слишком прост, поэтому в нём появилась эта искусственность "невозможных" чисел?

[Мастак]

Наверно топикстартер не дошел в сомнениях до конструктивной математики, где уже и вещественные числа - неконструктивны (не можем никак предъявить какое-нибудь полное изображение иррационального числа (не говоря уже о физических объектах) - можем только сказать, например, что это число будет получено в результате каких-то операций, но сами операции завершить в реальности не сможем, и т.п.).

Вот, собственно и вопрос: ведь вообще, например, реально не можем складывать сами иррациональные числа? Складываем только какие-то модели иррациональных чисел.