Кривизна поверхности в сферических координатах

[alexey007]

Привет всем!!! Подскажите пожалуйста как записывается кривизна поверхности $K(r(\theta,\phi))$ в сферических координатах, поверхность задается уравнением $r(\theta,\phi)$. Очень нужно)))))))

[maxmatem]

А какой конкретно кривизне идёт речь?

[Утундрий]

Ну, ежели очень, то ловите...

(КРАЙНЕ МНОГО СИМВОЛОВ)

Поверхность:
$r = {E^f[A, B] Cos[A], E^f[A, B] Sin[A] Cos[B], E^f[A, B] Sin[A] Sin[B]}$
Гауссова кривизна:
$(E^(-2 f[A,B]) (-(Sin[B] (f^(0,1))[A,B]+Cos[B] Sin[A] (Sin[A]-Cos[A] (f^(1,0))[A,B]))^2 ((f^(0,1))[A,B] (2 Cos[A] (f^(0,1))[A,B]^2+Sin[A] (2 (f^(0,2))[A,B] (f^(1,0))[A,B]+Sin[2 A] (1+(f^(1,0))[A,B]^2)))-2 Sin[A] (Sin[A]^2+(f^(0,1))[A,B]^2) (f^(1,1))[A,B])^2-(Cos[B] (f^(0,1))[A,B]+Sin[A] Sin[B] (-Sin[A]+Cos[A] (f^(1,0))[A,B]))^2 ((f^(0,1))[A,B] (2 Cos[A] (f^(0,1))[A,B]^2+Sin[A] (2 (f^(0,2))[A,B] (f^(1,0))[A,B]+Sin[2 A] (1+(f^(1,0))[A,B]^2)))-2 Sin[A] (Sin[A]^2+(f^(0,1))[A,B]^2) (f^(1,1))[A,B])^2-4 Sin[A]^2 (Cos[A]+Sin[A] (f^(1,0))[A,B])^2 ((f^(0,1))[A,B] (Cos[A] (f^(0,1))[A,B]^2+Sin[A] ((f^(0,2))[A,B] (f^(1,0))[A,B]+Cos[A] Sin[A] (1+(f^(1,0))[A,B]^2)))-Sin[A] (Sin[A]^2+(f^(0,1))[A,B]^2) (f^(1,1))[A,B])^2-2 Sin[A]^2 (Cos[A]+Sin[A] (f^(1,0))[A,B])^2 (2 (f^(0,1))[A,B]^2 (-Sin[A]+Cos[A] (f^(1,0))[A,B])+Sin[A] (-1+Cos[2 A]+2 (f^(0,2))[A,B]+Sin[2 A] (f^(1,0))[A,B]) (1+(f^(1,0))[A,B]^2)-2 Sin[A] (f^(0,1))[A,B] (f^(1,0))[A,B] (f^(1,1))[A,B]) (Sin[A] (f^(0,1))[A,B] (f^(1,0))[A,B] (f^(1,1))[A,B]+Sin[A]^3 (1+(f^(1,0))[A,B]^2-(f^(2,0))[A,B])+(f^(0,1))[A,B]^2 (Sin[A]-Cos[A] (f^(1,0))[A,B]-Sin[A] (f^(2,0))[A,B]))+2 (Sin[B] (f^(0,1))[A,B]+Cos[B] Sin[A] (Sin[A]-Cos[A] (f^(1,0))[A,B]))^2 (2 (f^(0,1))[A,B]^2 (Sin[A]-Cos[A] (f^(1,0))[A,B])-Sin[A] (-1+Cos[2 A]+2 (f^(0,2))[A,B]+Sin[2 A] (f^(1,0))[A,B]) (1+(f^(1,0))[A,B]^2)+2 Sin[A] (f^(0,1))[A,B] (f^(1,0))[A,B] (f^(1,1))[A,B]) (Sin[A] (f^(0,1))[A,B] (f^(1,0))[A,B] (f^(1,1))[A,B]+Sin[A]^3 (1+(f^(1,0))[A,B]^2-(f^(2,0))[A,B])+(f^(0,1))[A,B]^2 (Sin[A]-Cos[A] (f^(1,0))[A,B]-Sin[A] (f^(2,0))[A,B]))+2 (Cos[B] (f^(0,1))[A,B]+Sin[A] Sin[B] (-Sin[A]+Cos[A] (f^(1,0))[A,B]))^2 (2 (f^(0,1))[A,B]^2 (Sin[A]-Cos[A] (f^(1,0))[A,B])-Sin[A] (-1+Cos[2 A]+2 (f^(0,2))[A,B]+Sin[2 A] (f^(1,0))[A,B]) (1+(f^(1,0))[A,B]^2)+2 Sin[A] (f^(0,1))[A,B] (f^(1,0))[A,B] (f^(1,1))[A,B]) (Sin[A] (f^(0,1))[A,B] (f^(1,0))[A,B] (f^(1,1))[A,B]+Sin[A]^3 (1+(f^(1,0))[A,B]^2-(f^(2,0))[A,B])+(f^(0,1))[A,B]^2 (Sin[A]-Cos[A] (f^(1,0))[A,B]-Sin[A] (f^(2,0))[A,B]))))/(4 ((f^(0,1))[A,B]^2+Sin[A]^2 (1+(f^(1,0))[A,B]^2))^4)$

При копипасте покорежилось слегка, но ни сил ни желания править нет. Главное показано - практическая бесполезность сего громоздкого выражения.

А может Вас частный случай $\[r\left( \theta \right)\]$ удовлетворит? Формула там гораздо приятнее:
$\[e^{ - 2f} \frac{{\left( {1 - f'\left( \theta \right)\operatorname{ctg} \theta } \right)\left( {1 + f'\left( \theta \right)^2 - f''\left( \theta \right)} \right)}}{{\left( {1 + f'\left( \theta \right)^2 } \right)^2 }}\]$, здесь также принято $\[f \equiv \ln r\left( \theta \right) \]$