Сумма коэффициентов полинома.

[AchilleS]

Здравствуйте, уважаемые участники форума! Я вернулся)) Меня интересует вопрос:
В уравнении 3-ей степени (1-х^2-x^3)^2006 необходимо найти сумму четных и нечетных коэффициентов (имеется в виду сами коэффициенты четные или нечетные) ... Как? (условия уточняются)
Заранее спасибо.[/code]

[maxal]

Пусть $f(x)=( 1 - x^2 - x^3 )^{2006}$. Тогда сумма четных коэффициентов равна $\frac{f(1)+f(-1)}{2},$ а сумма нечетных $\frac{f(1)-f(-1)}{2}.$

[незваный гость]

Mathematica это посчитает за 10-20 секунд. Полчите числа порядка 7.875008 10 ^849 для четных, и, соответственно -7.875008 10 ^849 для нечетных. Сумма, как и следует ожидать, равна 1. А зачем?

[maxal]

незваный гость писал(а):

Полчите числа порядка 7.875008 10 ^849 для четных, и, соответственно -7.875008 10 ^849 для нечетных.

Отнюдь. Ответом будет 1 и 0. См. формулы выше.

[незваный гость]

maxal, Вы подсчитали сумму четных по номеру коэффициетнов. А я — по значению.

AchilleS писал(а):

(имеется в виду сами коэффициенты четные или нечетные)

Добавлено спустя 41 минуту 44 секунды:


Мне было лень, и я подсчитал точно. Просто, публиковать 897 цифр?!? как-то непонятно зачем. Задача выглядит искусственной.

[maxal]

Вообще, коэффициент при $x^t$ равен:

$$\sum_{k=0}^{\lfloor t/2\rfloor} (-1)^k {2006\choose k} {k\choose t-2k}.$$

Но вот определить аналитически его четность (даже с помощью теоремы Люка) не так-то просто. Гораздо проще пробежаться по численным значениям всех коэффициентов и просуммировать согласно четности.

[AchilleS]

maxal писал(а):

Пусть $f(x)=( 1 - x^2 - x^3 )^{2006}$. Тогда сумма четных коэффициентов равна $\frac{f(1)+f(-1)}{2},$ а сумма нечетных $\frac{f(1)-f(-1)}{2}.$

Простите, не могли бы вы более подробно объяснить это решение.
Кстати, это задача с городской олимпиады по математике для 11-ых классов!

[незваный гость]

AchilleS писал(а):

Кстати, это задача с городской олимпиады по математике для 11-ых классов!

AchilleS писал(а):

В уравнении 3-ей степени (1-х^2-x^3)^2006 необходимо найти сумму четных и нечетных коэффициентов (имеется в виду сами коэффициенты четные или нечетные)

1) Это не уравнение.
2) Этот полином не третьей степени.
3) Если это 11-класс, то это — не «сами коэффициенты», а их номера.

[AchilleS]

незваный гость писал(а):

:evil:

AchilleS писал(а):

Кстати, это задача с городской олимпиады по математике для 11-ых классов!

AchilleS писал(а):

В уравнении 3-ей степени (1-х^2-x^3)^2006 необходимо найти сумму четных и нечетных коэффициентов (имеется в виду сами коэффициенты четные или нечетные)

1) Это не уравнение.
2) Этот полином не третьей степени.
3) Если это 11-класс, то это — не «сами коэффициенты», а их номера.

Приму к сведению.

[незваный гость]

AchilleS писал(а):

Простите, не могли бы вы более подробно объяснить это решение.

Пусть $f(x) = (1-x^2 - x^3)^{2006}$. Тогда $f(x) = \sum_{k=0}^{6018}a_k x^k$ — полином. $f(1) = \sum_{k=0}^{6018}a_k$, $f(-1) = \sum_{k=0}^{6018}(-1)^k a_k$, и следовательно: $\frac{f(1)+f(-1)}{2} = $ $\sum_{k=0}^{6018} \frac{1+(-1)^k}{2} a_k =$ $\sum_{k=0}^{3009}a_{2k}$. Для нечетных аналогично (либо из суммы всех вычитаем сумму четных).

[Larry]

полином

$$\((1+2x-4x^3)^1^9^9^7$$

записан в каноническом виде. Найти сумму всех его коэффициентов.

[maxal]

Подставьте $x=1.$

[незваный гость]

q.v. сумма коэффициентов.


Объединил эти темы. АКМ.

[AchilleS]

Спасибо!