Термех. Динамика. Собственные колебания.

[Zanzibarsky]

Однородный конус высотой H и плотностью γ1 погружен в жидкость плотносит γ2 (γ2>γ1), так что его вершина находится на поверхностью жидкости, а основание параллельно этой поверхности. Определить период собственных вертикальных колебаний конуса, пренебрегая сопротивлением жидкости. Ответ известен.
Как решаю:
Второй закон Ньютона(архимедова сила и сила тяжести).
Обозночаю не погруженную часть как h, изменение этой части соответственно h+x.
Объем погруженной части нахожу по формуле $ V = (1 - (\frac{h+x}{H})^3)*V_{полн} $
Получаю дифф уравнение $ x''=(1 - (\frac{h+x}{H})^3)*\frac{g*y_2}{y_1}-g $ Здесь y - это γ, обозначающий плотность.
Вот тут и начинается беда, Mathematica решать не хочет, а в диффурах я не силен. Бражниченко советует упростить все это подставив краевые условия и избавиться хотя бы от h, но ничего путного у меня, к сожалению, из этого не получается.
И, собственно, вопрос, что делать дальше после диффуравнения?

[ИСН]

линейным прибл

[Zanzibarsky]

А можно поподробнее, что здесь с линейным приближением делать.

[Diom]

Решайте дифур в вариациях относительно точки равновесия, которая, как я понял, у вас есть x=0, x'=0 .
Но на самом деле, учитывая что ваша динамическая система может быть охарактеризована лишь двумя переменными состояния, то она и без линеаризации скорее всего решится. Переведите в форму коши. У вас будет два дифура (через $x_1$ - обозначено положение, а $x_2$ - скорость):
$ x_1'=x_2$
$ x_2'=(1 - (\frac{h+x_1}{H})^3)*\frac{g*y_2}{y_1}-g $
Потом условно "разделив" одно первое ур. на второе получите дифур который позволит вам найти первый интеграл движения:
$dx_1 / dx_2 = x_2 /((1 - (\frac{h+x_1}{H})^3)*\frac{g*y_2}{y_1}-g ) $
или разделив переменные:
$((1 - (\frac{h+x_1}{H})^3)*\frac{g*y_2}{y_1}-g ) dx_1 = x_2 dx_2 $
Интегрируем все это дело получаем функциональную зависимость между скоростью и положением. Ну а дальше дело за малым.
Подставляете полученную зависимость в $ x_1'=x_2$ и получаете банальный дифур первого порядка который вы наверняка сможете взять и сами ;)
ПС: верность вашей мат. модели не проверял.

[Zanzibarsky]

Спасибо большое, щас попробую решить

[Zanzibarsky]

Не, не получается, там после интегрирования получается (x+x^2+x^3+x^4)^0.5 с коэффициентами естественно, а это уже вроде не решаемо

[Diom]

Ну в таком случае придется прибегнуть к некоторому допущению положив, что колебания имеют достаточно малую амплитуду и пренебречь старшими степенями.

[Zanzibarsky]

Может проверите матмодель, а дальше я сам как-нибудь что-нибудь да придумаю.