Вычислить определенный интеграл (по Куранту)

[dimanet]

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, разобраться в следующем задании вводной главы об определенных интегралах из "Курса дифференциального и интегрального исчисления" Куранта: пользуясь методами, примененными в тексте, вычислить интеграл $\[\int\limits_a^b {{{\left( {x + 1} \right)}^\alpha }} dx\] $, где $\[\alpha \]$ — любое целое число.
В самом тексте при вычислении интеграла $\[\int\limits_a^b {{x^\alpha }} dx\]$ использовалось разбиение отрезка на возрастающие в геометрической прогрессии части и отыскание предела суммы $\[{a^\alpha }\left( {aq - a} \right) + {\left( {aq} \right)^\alpha }\left( {a{q^2} - aq} \right) + ... + {\left( {a{q^{n - 1}}} \right)^\alpha }\left( {a{q^n} - a{q^{n - 1}}} \right)\]$, где q — знаменатель прогрессии.
Нужно ли здесь раскрывать скобки или нет? Дайте мне пожалуйста "наколку", чтоб я мог подумать и попытаться разобраться. Сейчас каникулы, и у преподавателя спросить не могу.
Заранее благодарю.

[gris]

В конечных суммах можно раскрывать скобки. Здесь это ещё и полезно. Для упрощения я бы вынес вначале самый общий множитель из всего выражения.

[maxmatem]

dimanet

Цитата:

вычислить интеграл $\[\int\limits_a^b {{{\left( {x + 1} \right)}^\alpha }} dx\] $, где $\[\alpha \]$ — любое целое число.

А почему нельзя просто $x+1$ под знак дифференциала внести и взять интеграл как табличный?
Зачем такие трудности как описал ТС ?

(Оффтоп)

Вот всегда удивлялся, вот в школе вычисление производных начинается с вычисления по определению, и дети мучаются считают (в особенности производные тригонометрических функций), а потом говорят детям, мол теперь мы будем вычислять по таблице и по определённым правилам, и недоумеванию детей нет предела.......
Это я к тому, что и интегралы почему то многие авторы любят просить вычислять всякими изащрёнными способами......

[AKM]

К этому моменту Р.Курант только рассказывает dimanetу, что такое определённый интеграл, и как хитро можно вычислить эту площадь в некоторых относительно простых случаях. Особых трудностей при этом нет; скорее наоборот --- весьма необычная задача на площадь, оказывается, решается привычными методами.

До связи определённого интеграла с неопределённым они пока не дошли. Но скоро дойдут. Тогда табличные интегралы и появятся.

[maxmatem]

Цитата:

Р.Курант только рассказывает dimanetу, что такое определённый интеграл,

Тогда всё ясно.

[ИСН]

"Научитесь сначала прыгать - а потом, так и быть, нальём в бассейн воду."

[maxmatem]

ИСН

Цитата:

"Научитесь сначала прыгать - а потом, так и быть, нальём в бассейн воду."

это вы кому?

[ИСН]

Это я характеризую такой метод обучения.

[dimanet]

gris
Я выносил вот так: $\[\begin{gathered} {\left( {a + 1} \right)^\alpha }\left( {aq - a} \right) + {\left( {aq + 1} \right)^\alpha }\left( {a{q^2} - aq} \right) + {\left( {a{q^2} + 1} \right)^\alpha }\left( {a{q^3} - a{q^2}} \right) + ... + {\left( {a{q^{n - 1}} + 1} \right)^\alpha }\left( {a{q^n} - a{q^{n - 1}}} \right) = \hfill \\ = a\left( {q - 1} \right)\left[ {{{\left( {a + 1} \right)}^\alpha } + {{\left( {aq + 1} \right)}^\alpha }q + {{\left( {a{q^2} + 1} \right)}^\alpha }{q^2} + ... + {{\left( {a{q^{n - 1}} + 1} \right)}^\alpha }{q^{n - 1}}} \right] \hfill \\ \end{gathered} \]$

У меня вызывает трудности суммирование, а потом нахождение предела выражения, которое стоит в квадратных скобках, я не знаю, что делать с общим членом со степенью. Пробовал раскрывать скобки с помощью бинома Ньютона, и оно там как бы суммируется потом, но я не знаю, что делать со слагаемыми после раскрытия, которые стоят после первого и до последнего (показатель же не фиксированный). Кроме того, $\[\alpha \]$ — не натуральное, а целое, и я так понимаю, может быть отрицательным, хотя конечно, это вроде не запрещает пользоваться биномом Ньютона.

На самом деле, мне такой индуктивный подход по душе. Мне легче сначала понять мотивировки, а потом уже переходить к более общим сведениям, поэтому в дополнение к конспектам и Фихтенгольцу начал пользоваться этой книгой Куранта, мне показалось, что он использует именно такой "индуктивный" подход.

[gris]

При таком же способе разбиения, как и в первом интеграле, мы действительно получим сложное выражение. Между тем в первом интеграле всё очень удачно выносилось и сокращалось. Всё дело в подынтегральной функции. Для нас определённый интеграл это площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, прямыми $x=a, x=b$ и графиком функции $y=(x+1)^\alpha$.
Заметим, что график функции $y=f(x+1)$ получается из графика функции $y=f(x)$ параллельным сдвигом влево.
Поэтому вторая трапеция будет в точности равняться трапеции, ограниченной осью абсцисс, прямыми $x=a+1, x=b+1$ и графиком функции $y=x^\alpha$, площадь которой мы уже научились находить.
То есть нам надо провести такое же разбиение и вычисление суммы прямоугольников, как в первом интеграле, но на отрезке $[a+1;b+1]$. Всё останется таким же, только вместо $a$ у нас будет $a+1$. Можно даже для простоты обозначить $a+1=c$. Собственно, это и есть замена переменных в определённом интеграле.

Для ещё большего уяснения я бы посоветовал нарисовать график функции для первой или второй степени, разбить его на 3-4 части и посмотреть на всё как оно есть. Насчёт отрицательных степеней: Надо следить, чтобы разрыв функции не попадал на отрезок интегрирования.

[dimanet]

gris

Спасибо большое! То, что нужно. Даже само понятие определенного интеграла стала более ясной.