Тригонометрическое уравнение

[myra_panama]

Решить уравнение:
$\cos 7x =\cos^3 x$
я использовал сos3x но дальше ...

[Sonic86]

Ну можно $\cos 7x$ выразить как многочлен от $\cos x, \sin x$ по формуле Муавра, $\cos x$ сократится, потом будет биквадратное уравнение от $\cos ^2 x=t$ и там уже будет кубическое это так хотя бы в лоб можно попробовать...

[ИСН]

железка говорит, что все корни, кроме очевидных - некрасивые

[Sonic86]

ИСН писал(а):

железка говорит, что все корни, кроме очевидных - некрасивые

а сколько их? 7? Вроде бы 7 должно...

[ShMaxG]

$\[\cos 7x = {\cos ^3}x = \frac{{\cos 3x + 3\cos x}} {4}\]$

Можно прийти к такому уравнению:

$\[3\sin 4x\sin 3x = - \sin 5x\sin 2x\]$

А затем и к $\[4\sin 5x + 3\sin x = 0\]$. Все проще, чем с кубами.

(Комплексные экспоненты решения не дали, сорри).

[myra_panama]

а можно ли приравнивать обе части уравнения
$\cos x$
и можно получить уравнение по проще :
$2\cos 4x \cos3x = (1-\cos2x)^2$
ну не знаю еще ........

[ShMaxG]

myra_panama
А чем Вам не нравится мое решение? Все вполне красиво. А

myra_panama в сообщении #408951 писал(а):

а можно ли приравнивать обе части уравнения

как-то не понятно.

[myra_panama]

ShMaxG в сообщении #408946 писал(а):

$\[\cos 7x = {\cos ^3}x = \frac{{\cos 3x + 3\cos x}} {4}\]$

Можно прийти к такому уравнению:

$\[3\sin 4x\sin 3x = - \sin 5x\sin 2x\]$

А затем и к $\[4\sin 5x + 3\sin x = 0\]$. Все проще, чем с кубами. Теперь можно перейти к комплексным экспонентам, найти $ix$, и тогда $\[\sin x = \operatorname{Im} {e^{ix}}\]$.

дальше всё понятно спасибо....

ShMaxG в сообщении #408954 писал(а):

как-то не понятно.

вот так :
$\cos x \cos 7x =\cos^4 x$

[ShMaxG]

Ну я не вижу решения по такому пути. А там не знаю...

[myra_panama]

может применим так:
$(\cos 7x -\cos 5x)+(\cos 5x -\cos 3x)+(\cos 3x -\cos x)=\cos^3 x -\cos x$
отсюда,
$-2\sin x \sin 6x -2\sin x \sin 4x -2\sin x \sin 2x=-\cos x \sin^2 x$
и первое решение
$\sin x=0$
а дальше думаю....

[ShMaxG]

Кароче! Пишите так: $\[\sin 5x = 5\sin x - 20{\sin ^3}x + 16{\sin ^5}x\]$, подставляете в $\[4\sin 5x + 3\sin x = 0\] $, далее замена $\[\sin x = y\] $ и придете к квадратному уравнению.

[myra_panama]

дааа я вас понял ..... кстати биквадратное уравнение получаеться ...

[ShMaxG]

А если интересно, как та формула получается, то просто запишите $\[\sin 5x = \sin \left( {3x + 2x} \right) = \sin 3x\cos 2x + \sin 2x\cos 3x\] $ и выражайте в правой части все через $\sin x$. Ну и пол-синуса от $5x$ там еще вылезет.