Доказать неравномощность множеств (Q и сечения Q)

[Dialectic]

Доказать, что множество рациональных чисел не равномощно множеству всех его разбиений на два класса, когда каждое число одного класса больше каждого числа другого класса, и каждое число - находится в одном и только в одном классе.

Понятно: речь идёт о Дедекиндовых сечениях в области рац. чисел .Но я никак не могу понять, почему же самих Дедекиндовых сечений не больше счетного множества?

[Gortaur]

Можно ли соотнести сечение с бесконечной последовательностью?

[ewert]

Dialectic в сообщении #408719 писал(а):

Но я никак не могу понять, почему же самих Дедекиндовых сечений не больше счетного множества?

Потому что не потому, а потому, что сами те сечения биективны вещественным числам.

[Dialectic]

Gortaur в сообщении #408721 писал(а):

Можно ли соотнести сечение с бесконечной последовательностью?

Да, пожалуй, раз Q равномощно N. И как нам это может помочь?

-- Чт фев 03, 2011 22:36:05 --

ewert в сообщении #408722 писал(а):

Dialectic в сообщении #408719 писал(а):

Но я никак не могу понять, почему же самих Дедекиндовых сечений не больше счетного множества?

Потому что не потому, а потому, что сами те сечения биективны вещественным числам.

Да нет. Это Вы говорите уже тогда, как будто-бы нам известно что такое "вещественные числа". А я говорю, с другой позиции - когда мы их ещё только начинаем строить. У нас вообще нет такого слова как "действительное число". У нас есть только сечения в указанном мною смысле. Вот потом, мы обзовем (в случае если докажем не равномощность) - их действительными числами. У меня такая стратегия.

[ewert]

Dialectic в сообщении #408724 писал(а):

У нас есть только сечения в указанном мною смысле. Вот потом, мы обзовем (в случае если докажем не равномощность) - их действительными числами.

Как можно доказать неравномощность множества самому себе?...

[Dialectic]

ewert в сообщении #408733 писал(а):

Dialectic в сообщении #408724 писал(а):

У нас есть только сечения в указанном мною смысле. Вот потом, мы обзовем (в случае если докажем не равномощность) - их действительными числами.

Как можно доказать неравномощность множества самому себе?...

Не очень понял вопроса: у нас известно только Q. Всё. Далее мы определили новые объекты которые мы назвали "сечениями", требуется доказать, что эти множества -не равномощны. Имеется ли такой способ?

-- Чт фев 03, 2011 23:04:30 --

Кстати, кажется я сумел только что доказать обратное...
Дедекиндовых сечений - счетное множество...
Интуитивно: в каждом из сечений мы можем выбрать хотя бы одну рац. точку, а двум разным сечениям поставлены две разные рац. точки. Таким образом - предположение о несчетности множества Дедекиндовых сечений - по всей видимости - не верно. Хм... я не могу понять: что такое тогда вещественные числа? Если они не определяются через Дедекиндовы сечения , то как они тогда определяются?

[ewert]

Dialectic в сообщении #408736 писал(а):

Далее мы определили новые объекты которые мы назвали "сечениями", требуется доказать, что эти множества -не равномощны.

Да кому конкретно не равномощны, ради-то богу?...

[Xaositect]

Dialectic в сообщении #408736 писал(а):

а двум разным сечениям поставлены две разные рац. точки

Это почему?

[Dialectic]

ewert в сообщении #408741 писал(а):

Dialectic в сообщении #408736 писал(а):

Далее мы определили новые объекты которые мы назвали "сечениями", требуется доказать, что эти множества -не равномощны.

Да кому конкретно не равномощны, ради-то богу?...

Друг - другу, кому же ещё?

[Xaositect]

ewert в сообщении #408741 писал(а):

Да кому конкретно не равномощны, ради-то богу?...

Множество всех сечений множеству рациональных чисел неравномощно.

[Dialectic]

Xaositect в сообщении #408742 писал(а):

Dialectic в сообщении #408736 писал(а):

а двум разным сечениям поставлены две разные рац. точки

Это почему?

Я же сказал - интуитивно. Вот и требуется доказать обратное в этой теме. Есть ли способ?

-- Чт фев 03, 2011 23:17:57 --

Xaositect в сообщении #408744 писал(а):

ewert в сообщении #408741 писал(а):

Да кому конкретно не равномощны, ради-то богу?...

Множество всех сечений множеству рациональных чисел неравномощно.

Совершенно верно.

[ewert]

Dialectic в сообщении #408736 писал(а):

Хм... я не могу понять: что такое тогда вещественные числа? Если они не определяются через Дедекиндовы сечения , то как они тогда определяются?

Вот сперва и определитесь с этим вопросом -- что Вы понимаете под этими числами для себя. И только после этого Ваш вопрос о "равномощности" станет хоть сколько-то осмысленным.

[Dialectic]

ewert в сообщении #408748 писал(а):

Dialectic в сообщении #408736 писал(а):

Хм... я не могу понять: что такое тогда вещественные числа? Если они не определяются через Дедекиндовы сечения , то как они тогда определяются?

Вот сперва и определитесь с этим вопросом -- что Вы понимаете под этими числами для себя. И только после этого Ваш вопрос о "равномощности" станет хоть сколько-то осмысленным.

Почему он сейчас неосмысленен? Я указал два множества различных объектов, и я прошу только доказать то, что они не равномощны. Что же тут неосмысленного?

[venco]

Dialectic в сообщении #408745 писал(а):

Xaositect в сообщении #408744 писал(а):

Множество всех сечений множеству рациональных чисел неравномощно.

Совершенно верно.

Эта неравномощность доказывается диагональю Кантора.

[Dialectic]

Xaositect в сообщении #408744 писал(а):

ewert в сообщении #408741 писал(а):

Да кому конкретно не равномощны, ради-то богу?...

Множество всех сечений множеству рациональных чисел неравномощно.

Уважаемый Xaositect - помогите пожалуйста это доказать.

-- Чт фев 03, 2011 23:24:04 --

venco в сообщении #408751 писал(а):

Dialectic в сообщении #408745 писал(а):

Xaositect в сообщении #408744 писал(а):

Множество всех сечений множеству рациональных чисел неравномощно.

Совершенно верно.

Эта неравномощность доказывается диагональю Кантора.

Не вижу связи. Как именно она доказывается диагональю Кантора?