определить, является ли факторкольцо полем

[flame19]

Помогите пожалуйста! нужно определить является ли фактор кольцо $F2/(x^3+x^2+1)$ полем.
Фактор кольцо состоит из многочленов которые при деление на $x^3+x^2+1$ дают один и тот же остаток. возможные остатки это $0$, $1$, $x$, $x+1$, $x^2$, $x^2+1$. я думаю что это поле так как $x^3+x^2+1$ неприводимый многочлен. прошу прощенье что пишу не очень красиво, просто я с телефона

[VAL]

flame19 в сообщении #408144 писал(а):

нужно определить является ли фактор кольцо $F2/(x^3+x^2+1)$ полем.
Фактор кольцо состоит из многочленов которые при деление на $x^3+x^2+1$ дают один и тот же остаток. возможные остатки это $0$, $1$, $x$, $x+1$, $x^2$, $x^2+1$.

Что-то маловато остатков...

Цитата:

я думаю что это поле так как $x^3+x^2+1$ неприводимый многочлен.

А что тут думать?! Неприводимость многочлена третьей степени равносильна отсутствию корней. А элементов в поле $\matbb{F}_2$ не очень много :)

И еще. Факторкольцо, конечно же, состоит не из многочленов, а из классов. А остатки - это только их удобные представители.

[Leox]

Правильно так: $GF(2)/(x^3+x^2+1).$ Самый простой и полезный способ решения - составить таблицы сложения и умножения класов вычетов и проверить выполнение аксиом поля.
Способ сложнее - идеал порожденный неприводимым многочленом есть максимальный а фактор-кольцо по максимальному идеалу - поле.

[VAL]

Leox в сообщении #408437 писал(а):

Правильно так: $GF(2)/(x^3+x^2+1).$ Самый простой и полезный способ решения - составить таблицы сложения и умножения класов вычетов и проверить выполнение аксиом поля.

Возможно, один раз в жизни полезно составить таблицы сложения и умножения... Но назвать этот мазохистский способ самым простым... Это уж слишком!

Цитата:

Способ сложнее - идеал порожденный неприводимым многочленом есть максимальный а фактор-кольцо по максимальному идеалу - поле.

Самый простой способ - проверить полином $f(x)=x^3+x^2+1$ на неприводимость. Проверка занимает примерно полсекунды.
Разумеется, идеал порожденный этим полиномом, будет максимальным в $\mathbb{F}_2[x]$. Но можно обойтись и без этого факта. Обратимость ненулевых элементов факторкольца напрямую следует из того, что всякий полином $g(x)$, не кратный $f(x)$ взаимно прост с ним и единицу можно представить в виде линейной комбинации $f(x)$ и $g(x)$.

[Leox]

VAL в сообщении #408442 писал(а):

Возможно, один раз в жизни полезно составить таблицы сложения и умножения... Но назвать этот мазохистский способ самым простым... Это уж слишком!

Согласен но мне кажется что для ТС как раз наступил именно тот единственный раз в жизни :)