Разность двух СВ имеющих распределение Пуассона

[GAlexei]

Думаю, все знают, что

$$\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{{a^k}}{{k!}}$$

равно e^a, а есть ли какая-нибудь более-менее приглядная формула для

$$\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{{a^k}}{{(k!)^2}}$$

?

[Руст]

Через специальные вырожденные гипергеометрические функции.

[GAlexei]

Руст писал(а):

Через специальные вырожденные гипергеометрические функции.

Ну. Значит не очень хорошо.
Но на самом деле, откуда всё возникло - известно, что сумма двух СВ, распределённых по закону Пуассона есть случайная величина, распределённая по закону Пуассона. Это ясно. У меня возник другой вопрос - а разность двух СВ, распределённых по закону Пуассона какое имеет распределение.

К примеру, получается, что если мы хотим узнать, какова вероятность того, что разность двух СВ, распределённых по закону Пуассона с параметрами a и b равна i, то получим, что

p(\xi=i)=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{{{a^k}{b^{k+i}}}}{{k!(k+i)!}}{e^{-a-b}}

Вот, собственно, при i=0 и получим ту сумму почти.

[Someone]

Модифицированная функция Бесселя первого рода порядка $\nu$:

$$I_{\nu}(z)=\sum\limits_{m=0}^{\infty}\frac{\left(\frac z2\right)^{2m+\nu}}{m!\Gamma(m+\nu+1)}$$

.
Сравниваем с Вашим выражением:

$$P(\xi=i)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{a^kb^{k+i}}{k!(k+i)!}e^{-a-b}=e^{-a-b}\sqrt{\left(\frac ba\right)^i}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{\left(\frac{2\sqrt{ab}}2\right)^{2k+i}}{k!\Gamma(k+i+1)}=e^{-a-b}\sqrt{\left(\frac ba\right)^i}I_i(2\sqrt{ab})$$

.

Кажется, не наврал.

[GAlexei]

Спасибо. Отлично. Сам бы до функции Бесселя едва ли дошёл бы. Буду копать дальше.