О полупрямых (или лучах) (равенство vs конгруэнтность)

[Sasha2]

Интересно, вот я не нашел, ни в учебнике Кисилева, ни в учебнике Адамара, ни в учебниках Перепелкина и Анастасяна доказательство такого простого факта:

Две любые полупрямые являются фигурами равными.

Это сейчас рассматривается уже как аксиома? Или просто авторы не считают нужным доказывать это простенькое предложение? Или может быть не вводится вся аксиоматика (чтобы учащихся не перегружать) и опускается доказательство этого предложения.

[незваный гость]

Равными они не являются. Они являются конгруэнтными (согласно учебнику Колмогорова).

Отвечу вопросом на вопрос, но не по злобе: а в каком из приведенных Вами учебников Вы видели доказательство конгруэнтности прямых? Это ведь не менее фундаментальный факт, а пожалуй что и более.

[Sasha2]

Извините пожалуйста, но они являются равными согласно определению (имеется в виду прямые), а именно

Любая фигура равная прямой есть прямая: и обратно любая прямая может быть совмещена со всякой другой и притом таким образом, что любая точка первой может быть совмещена с любой точкой второй. (Адамар, Планиметрия)

Это определение, откуда, между прочим следует любые две прямые являются фигурами равными, а неравных прямых вообще нет.

Но вопрос встает не о прямых, а о полупрямых (или лучах)

Что же касается Кисилева, то там тоже нет такого доказательства (и я здесь имею в виду как редакцию оригиналььную, так и несколько исправленную с участием Глаголева).

[незваный гость]

Во-первых, понимаете ли Вы разницу между равенством и конгруэнтностью? К сожалению, многие учебники школьной геометрии смешивают эти понятия (Колмогоров — нет, но судя по приведенной Вами цитате, Адамар смешивает).

Во-вторых, приведенная Вами цитата не есть определение. Это — утверждение, доказательство которого Адамар тактично опускает. Между прочим, поскольку Адамар говорит о совмещении, он, разумеется, имеет в виду конгруэнтность.

В-третьих, говоря о совмещении, полезно указывать, какие преобразования считаются допустимыми. Иначе все подобные треугольники окажутся равными. И дальше уже не так далеко до топологии с непрерывными изоморфизмами. Что еще раз подтверждает необходимость доказательства этого факта (q.v. во-вторых).

В-четвертых, для лучей проходит очень простая модификация доказательства для прямых. Для прямых надо в начале доказательства совместить две произвольные точки, а для лучей — обязательно их начала.

[Sasha2]

Ну давайте тогда так, я отвечу а Вы поправите, если я не прав.

1) Равные это те, которые могут быть совмещены друг с другом так, что совпадут во всех частях, иными словами две равные это фактически одна, но в другом месте.

2) Что касается конгруэнтности, то, наверно надо задать некоторое множество допустимых преобразований. Тогда если одна фигура может быть переведена в другую посредством эитх преобразований, то они конгруэнтны. Ну а если уж совсем отвлечься, то мне кажется, что это есть некое отношение эквивалентности на определенном множесстве фигур.

(Однако - это мои домыслы и может быть я ошибаюсь)

[незваный гость]

Если я правильно понимаю, Колмогоров называет две фигуры равными, если они равны в теоретико-множественном смысле (т.е. точка принадлежит одной из них тогда и только тогда, когда она принадлежит другой).

К сожалению, понятие «совместить» выходит за рамки аксиоматики геометрии. Его необходимо определять. По сути, совместить — это задать отображение. Конгруэнтными называются фигуры, которые могут быть отображены одна в другую при помощи изометрии. Изометрией же называется отображение, сохраняющее расстояние.

Это, впрочем, одно из определений (согласно Колмогорову). Система аксиом Гильберта вводит понятие конгруэнтности аксиоматически.

Несколько ссылок:
Конгруэнтность
Аксиоматика Гильберта

Систему аксиом по К. мне отыскать в Интернете не удалось. Придется искать старый учебник… Зато это, похоже, одна из немногих систем, определяющих конгруэнтности через движение, а не вводящая ее аксиоматически.

[DMVN]

незваный гость, не стОит так цепляться к терминологии. В конце концов, можно говорить "равны", а подразумевать конгруэнтность, просто в геометрии гораздо чаще приходится пользоваться именно конгруэнтностью, а вместо "равны по колмогорову" я говорю обычно "совпадают".

Кстати, если я всё правильно помню, то в учебнике Погорелова движение не есть аксиоматическое понятие, оно там вводится именно как преобразование плоскости, сохраняющее расстояние.

[Someone]

Термин "конгруэнтны" в школе появился при переходе с учебника Киселёва на Колмогорова, который протащил в школу теоретико-множественный подход. У Киселёва употреблялся термин "равны" - именно в смысле возможности наложения фигур путём движения фигуры как твёрдого тела, возможно, в комбинации с зеркальным отражением.

Я не уверен, что в массовой школе необходима такая вещь, как полная аксиоматика геометрии. Учебники Киселёва, на мой взгляд, были великолепны. А те школьники, которые этим заинтересовались, могли использовать дополнительную литературу. Я, например, использовал.

[незваный гость]

Someone писал(а):

Я не уверен, что в массовой школе необходима такая вещь, как полная аксиоматика геометрии. Учебники Киселёва, на мой взгляд, были великолепны. А те школьники, которые этим заинтересовались, могли использовать дополнительную литературу.

Я тоже не уверен. Но сейчас, оглядываясь назад, понимаю, что это был единственный достаточно формальный раздел. Единственный, демонстрировавший методологию математики. И, пожалуй, единственный, где это было возможно.

Я хочу предложить: давайте примем терминологию "равны" как совместимые, и "совпадающие" как состоящие из одних и тех же точек. И вернемся к задачам:

1) Доказать, что все прямые равны.

2) Доказать, что два луча равны.

[Sasha2]

Между прочим, тоже хочу заметить, что в некоторых источниках я встречаю такое устверждение (иногда ее называют ну чтоли аксиомой объемности), а именно:

Каждая геометрическая фигура может быть бесчисленным образом перемещена в пространстве без изменения своего внешнего вида совершенно также, как это может быть сделано с обычными твердыми телами.

Вот эта аксиома вообщем то меня и устраивает (ну пока на данном типе понимания).
Фактически ведь это то же самое как всякое преобразование, сохраняющее расстояния, между любыми двумя точками. И напрягаться особо не надо для сохранения логической связности.

[Руст]

Движения, сохраняющие расстояния между любыми двумя точками, называются движениями без деформации или движениями твёрдого тела. Все они сводятся к переносу и вращению.

[незваный гость]

Руст писал(а):

Движения, сохраняющие расстояния между любыми двумя точками, называются движениями без деформации или движениями твёрдого тела. Все они сводятся к переносу и вращению.

Еще и зеркальная симметрия. Другое название — изометрия.

Sasha2 писал(а):

Каждая геометрическая фигура может быть бесчисленным образом перемещена в пространстве без изменения своего внешнего вида совершенно также, как это может быть сделано с обычными твердыми телами.

Звучит уж больно неформально для аксиомы.

[Руст]

незваный гость писал(а):

:evil:
Еще и зеркальная симметрия. Другое название — изометрия.

Зеркальная симметрия относится к классу преобразований, сохраняюших расстояния, однако неосуществимо как непрерывное движение.