Minimum positive Value.

[man111]

If $a,b$ are positive quantities and $a\geq b$.Then find Minimum positive value of $asec\theta-btan\theta$

[paha]

Use $1/\cos{\theta}$ instead $\sec{\theta}$, please^)

$$ \frac{a}{\cos\theta}-\frac{b\sin{\theta}}{\cos\theta}=\frac{a-b\frac{2t}{1+t^2}}{(1-t^2)/(1+t^2)}\mapsto \min $$

$t\in(-1;1)$

[ewert]

Боюсь, что это ещё более жестоко. На самом деле надо просто

$\left(\dfrac{a}{\cos\theta}-b\,\tg\theta\right)'_{\theta}=\dfrac{a\sin\theta-b}{\cos^2\theta}\,.$

[paha]

ewert
боюсь, что производными нельзя пользоваться

[ewert]

paha в сообщении #408478 писал(а):

боюсь, что производными нельзя пользоваться

Ну тогда просто подобрать $\gamma$ так, чтобы было $b\,\sin\theta+\gamma\cos\theta\leqslant a\,,$ т.е. $b^2+\gamma^2=a^2.$

[Руст]

Не надо ничего подобрать. Надо смотреть на функцию в окрестности $\cos \theta =0$
С одной стороны уходит в плюс бесконечность, с другой в минус бесконечность (отдельно надо смотреть случай a=b). Забыл что минимум только среди положительных ищется. Тогда около особенности нет минимума (минус бесконечность исключается) соответственно все находится как минимум значения $f(t)=\frac{a(1+t^2)-2bt}{1-t^2}, 0\le t<1$. При $a=b$ минимум не достигается (стремится к нулю).
При $a>b$ уравнение $f'(t)=0$ приводится к уравнению $t^2-2ct+1=0,c=a/b>1$, т.е. $t_{min}=c-\sqrt{c^2-1}, f_{min}=\frac{t_{min}(a^2-b^2)}{b-at_{min}}.$

[ewert]

Так, стоп. Ну к чему все эти ужасы?... Задача состоит ровно в подборе наибольшей из таких констант $\gamma$, при которых для всех положительных значений косинуса выполняется неравенство

$\dfrac{a-b\sin\theta}{\cos\theta}\geqslant\gamma\quad\Longleftrightarrow\quad a-b\sin\theta\geqslant\gamma\cos\theta\quad\Longleftrightarrow\quad\dfrac{\gamma}{a}\cos\theta+\dfrac{b}{a}\sin\theta\leqslant1\,.$

Ну и очевидно, что для этого должно быть $\left(\dfrac{\gamma}{a}\right)^2+\left(\dfrac{b}{a}\right)^2=1,$ т.е. $\gamma=\sqrt{a^2-b^2}\,.$

[man111]

I have got it.
Thanks for nice explanation.