Инвариантные меры (для Марковских процессов)

[Gortaur]

Пытаюсь самостоятельно изучить сабж - до этого с ним не сталкивался. Собственно, вопрос такой - есть теория по сабжу для динамических систем, т.е. отображений типа $f:(X,\mathcal{F})\to (X,\mathcal{F})$. Тогда инвариантная мера определяется так, что

$$ \mu(f^{-1}(A)) = \mu(A) $$

для всех $A\in\mathcal{F}$. Для таких случаев есть например теорема Крылова-Боголюбова о существовании инвариантной меры.

Меня интересует инвариантная мера для Марковского процесса в дискретном времени - и тут собственно первая ссылка - статья самого Ито из 60х, где он ссылается на тех же Крылова и Боголюбова. То, что связь есть и возможно динамическая система эквивалентна Марковскому процессу я еще могу понять. Но - для динамических систем есть отображение, для Марковских процессов - ядро. Как они связаны?

[_hum_]

Для марковского процесса с дискретным временем и множеством состояний $S$ берете в качестве пространства $X$ динамической системы множество реализаций марковского процесса, то есть $X = S^\infty$, в качестве алгебры $\mathcal{F} $- борелевскую алгебру, порожденную цилиндрическими множествами, в качестве оператора эволюции в единицу времени $T$ - отображение сдвига $\sigma: X \rightarrow X$, $\sigma: (x_1,x_2,x_3,...) \mapsto (x_2, x_3,...)$, в качестве наблюдаемой $f$ - функцию $\pi^1: X \rightarrow S, \pi^1:(x_1,x_2,x_3,...) \mapsto x_1$. Тогда для динамической системы $(X,\mathcal{F}, \{T\})$ c индуцированной на $\mathcal{F}$ марковским процессом мерой $\mu$ последовательность наблюдаемых $f, f\circ T, f\circ T^2, ... $ будет представлять исходный марковский процесс.

[Gortaur]

Не уверен, что это то, что надо. Потому что инвариантная мера вводится для пространства состояний, а не для пространства событий.

Представьте Марковский процесс не как случайную процесс - а как пространство $E$ состояний плюс семейство нормированных единичкой мер $K(x,dy)$. То есть в данном случае эволюция как раз описывается тем, что из данной точки $x$ мы идем в $\supp K(x,\cdot)$ - но идем взвешенно. Соответственно и инвариантную меру логично определить как

$$ \mu(A) =: \mathrm{P}_\mu\{X_0\in A\} = \mathrm{P}_\mu\{X_1\in A\}, $$

как это собственно и написано у авторов. Повторюсь, конструкция ясна - непонятно как здесь провести четкую связь с динамической системой, описанной как действие отображения $f$ над $E$.

[_hum_]

Gortaur в сообщении #407971 писал(а):

Не уверен, что это то, что надо. Потому что инвариантная мера вводится для пространства состояний, а не для пространства событий.

Это как? У процессов вероятностная мера задается "на траекториях", а не "на состояниях".

И, кстати, гляньте, может, тут: Ширяев, Вероятность, гл.5 Стационарные (в узком смысле) случайные последовательности, параграф 1.

[Gortaur]

Бррр, вероятностной мерой $\mu$ на $E$ называется любая такая мера, что $\mu(E) = 1$ - так что задать ее можно где угодно. Отвлекитесь от меры в цинилиндрических множествах, думайте лишь о некотором распределении на $E$. Ну нет у Вас пространства событий (и вообще, его можно определить неоднозначно).
В доказательство справедливости своих суждений привожу Работу Ито - там первую страницу же и первую формулу - она эквивалентна тому, что написал я в предыдущем посте.
Ширяева посмотрел - ясно. Неясно лишь то, что там мера вводится на цилиндрическом множестве, Ито же ее вводит на пространстве состояний. Мне интересен последний случай.

[_hum_]

Судя по всему, Ито интересуется лишь распределением $\nu_k: \mathcal{B}(S) \rightarrow [0,1]$ значений марковского процесса в момент времени $k$. С вероятностным распределением $P:\mathcal{B}(S^\infty) \rightarrow [0,1]$ самого процесса это распределение связано очевидным соотношением:
$P(S\times S\times ... \times A \times S\times ...) = \nu_k(A)$. Поэтому, для того, чтобы найти стационарное распределение $\nu_k$, достаточно найти инвариантное (относительно сдвига) распределение марковского процесса. А это уже, судя по всему, Вы в курсе, как сделать.