Основы комплексного анализа - Гармонические функции

[ewert]

petia.p в сообщении #407572 писал(а):

Все что мне надо, это из всей бесконечности "гармонических функций у которых есть нули", показать одну, у которой нули не являются изолированными.

Padawan в сообщении #407537 писал(а):

$u(x,y)=x$

[petia.p]

Я учил что $U$ гармоническая, если $\dfrac{\partial^2 U}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 U}{\partial y^2} = 0$.
О нулях гармонической функции, нас не обучали. Если вас не затруднит, можете обьяснить, почему $U(x,y)=x$ подходит как пример?

[gris]

Мне больше нравится пример paha — назовите любую гармоническую функцию, отличную от константы. Нулями функции будут точки, где она обращается в 0. Если наглядно представить, то графически — это точки пересечения графика функции с нулевой плоскостью. График гармонической функции это непрерывная поверхность, не имеющая холмов и ямок. Она не может касаться нулевой плоскости, а только пересекать её по кривым. А кривая это уже не изолированные точки.
В случае $f=x$ нули это точки с координатами $(0;y)$, то есть целая прямая.
Я думаю, что задача была доказать именно невозможность изолированных нулей.
(Я извиняюсь, что в поспешности перепутал немного и в первом сообщении написал не то).

[petia.p]

У меня есть еще один вопрос, который выглядит слишком простым.
Данна гармоническая функция $U(x,y)=4xy(x^2-y^2)$, нужно найти все нули етой функции.


Мой ответ слишком простой:
$U(x,y) = 0 \Rightarrow \begin{cases} (0,y) & y\in\mathbb R \\ (x,0) & x\in\mathbb R \\ x = \pm y\end{cases}$
Так ли это?

[Gortaur]

Так и есть.