Выпуклость и вогнутость (произвол в терминологии)

[laplas_the_best]

Неоднократно встречался с тем, что в одних источниках - $f''(x)>0$ => вогнутость, в других - выпуклость.
В чем же дело?) Где истина?)

Вот пример)
В этом источнике
http://www.bymath.net/studyguide/ana/sec/conc_conv.htm
$f''(x)>0$ => вогнутость

В этом источнике http://www.exponenta.ru/educat/class/co ... theory.asp
$f''(x)>0$ => выпуклость

[ИСН]

Потому что многие люди ходят вверх ногами. Неужели не встречали?
Говорите "выпуклость вверх" и "выпуклость вниз", и будет всем всё понятно.

[laplas_the_best]

ИСН в сообщении #407446 писал(а):

Потому что многие люди ходят вверх ногами. Неужели не встречали?
Говорите "выпуклость вверх" и "выпуклость вниз", и будет всем всё понятно.

)))
Да, согласен, что с понятиями "выпуклость вверх" и "выпуклость вниз" гораздо проще) Но, каждый раз, когда упоминают "вогнутость", я "висну")) Думаю - больше нуля или меньше)

Я считаю, что вогнутость - это выпуклость вниз ($f''(x)>0$) По графику это действительно вогнутость)

[Алексей К.]

Если Вы развернёте выпуклость на 180 градусов, она превратится в вогнутость. Или во впуклость, точно не помню. А если на 90 --- то как бы, с точки зрения функции $y=f(x)$, ни то ни сё...

А на самом деле --- эта штука более фундаментальна: соединяешь любые две точки, и весь отрезок сидит внутри выпуклой области. Она есть выпуклость, как её ни крути. В отличие от какой-нибуди фигни типа \color{blue}\begin{picture}(35,20)\qbezier(0,0)(10,10)(20,0)\qbezier(20,0)(30,-5)(35,0)\qbezier(0,0)(20,0)(35,0)\end{picture}, или \color{blue}\sf Ж, которую как ни крути, а она ни впуклая, ни выпуклая, а никакая. Ну то есть не совсем никакая, а невыпуклая. Неинтересная как бы.

Выпуклую картошку гораздо легче чистить, чем невыпуклую.
Бывают картошки выпуклые и невыпуклые. На сколько там градусов их не разворачивай.
Вогнутых картошек не бывает.
Графики функций бывают выпуклые (вверх, вниз, вбок, взад, ...) и невыпуклые. Вогнутые --- лишнее слово. Но надо мириться с его наличием.

[Maslov]

laplas_the_best в сообщении #407452 писал(а):

Я считаю, что вогнутость - это выпуклость вниз ($f''(x)>0$)

Неправильно считаете. Выпуклость -- это выпуклость вниз.
Просто запомните, что функция $y = x^2$ -- выпуклая.

[laplas_the_best]

Алексей К. в сообщении #407464 писал(а):

Выпуклую картошку гораздо легче чистить, чем невыпуклую.
Бывают картошки выпуклые и невыпуклые. На сколько там градусов их не разворачивай.
Вогнутых картошек не бывает.
Графики функций бывают выпуклые (вверх, вниз, вбок, взад, ...) и невыпуклые. Вогнутые --- лишнее слово. Но надо мириться с его наличием.

Хорошо, спасибо за наглядный пример на картошке)))

-- Вт фев 01, 2011 03:53:35 --

Maslov в сообщении #407474 писал(а):

Неправильно считаете. Выпуклость -- это выпуклость вниз.
Просто запомните, что функция $y = x^2$ -- выпуклая.

Так просто я запоминать не буду)))
$(x^2)''=2>0$

Вторая производная больше нуля)
Вот источники, которые говорят о том, что положительная вторая производная говорит о вогнутости)
1) http://www.bymath.net/studyguide/ana/sec/conc_conv.htm

2) http://glovl.ru/proizvodnaya/2010-07-09-18-46-28.html

3) http://www.glovl.ru/-11-/2--/153-2010-0 ... 42-40.html

-- Вт фев 01, 2011 03:55:35 --

Тогда я буду следовать советам ИСН и Алексей К.
Спасибо за ответы)

[Gortaur]

Ничего подобного. Когда ищут минимальную выпуклую оболочку для функции - что получается? Там как раз по Вашей терминологии ответ ищется среди вогнутых функций. По-моему, выпуклость вверх и вниз - наименее некорректная терминология.

[Maslov]

Gortaur в сообщении #407520 писал(а):

По-моему, выпуклость вверх и вниз - наименее некорректная терминология.

Согласен, но есть устоявшаяся терминология, например, в оптимизационных задачах ("выпуклое программирование", "выпуклый анализ"). В частности, выпуклое программирование -- это решение задачи минимизации выпуклых функций на выпуклых множествах.
"Выпуклое вниз программирование" как-то не звучит.

[Gortaur]

Как и не звучит выпуклое вниз множество.

[Krull]

Выпуклое множество и выпуклая (как антоним "вогнутая") функция - вещи весьма разные. Выпуклого вниз множества никто и не придумывал, оно и не должно "звучать". Связь между этими двумя терминами разве что в выпуклости/впуклости надграфика/подграфика функции. Переформулировав вышесказанную проблему, можно констатировать "Не понятно, когда считать функцию выпуклой: когда у неё выпукл подграфик или надграфик?"

Короче, я за выпуклость вверх/вниз. Да здравствует ясность в математике!

[laplas_the_best]

Может тогда, когда речь идет о множествах -- можно говорить о выпуклых и не выпуклых ,а когда о функциях - выпуклых вниз или выпуклых вверх?)

[mihailm]

laplas_the_best в сообщении #413062 писал(а):

Может тогда, когда речь идет о множествах -- можно говорить о выпуклых и не выпуклых

(Оффтоп)

Может лучше выпуклых внутрь и вогнутых наружу? или все-таки наоборот

[bot]

На мой взгляд, термин вогнутость как антипод выпуклости выдуман специально, чтобы породить путаницу, особенно если он подкрепляется указанием куда - вверх или вниз.

Вот сейчас проверил на коллеге - подсунул ему задачник, в котором определяется вогнутость (вверх, вниз) и затем вводится антипод - выпуклость. Коллега долго соображал - то это определение или с точностью до наоборот.

Между тем всё просто:
функция (одной или нескольких переменных) выпукла вниз (вверх) если её надграфик (подграфик) - выпуклое множество.

Здесь тоже есть возможность самого себя запутать: если надграфик выпуклый, то это вверх или вниз? Ну уж тут объясныт нэлзя - это надо запомныт.

(Оффтоп)

Долго путался с odd и even - кто из них чётный. Потом заметил, что в первом слове нечётное число букв, а во втором чётное и путаница прекратилась. Но как-то раз задумался, а ведь если бы оказалось наоборот, то ведь и тогда запомнить было бы просто - надо посчитать буквы и и сделать протиположный вывод. С тех пор снова стал путаться.

[ewert]

(Оффтоп)

bot в сообщении #413214 писал(а):

Долго путался с odd и even - кто из них чётный.

а я лично просто помню, что функция ODD возвращает TRUE, т.е. единичку -- ну ясно же для каких чисел

[Gortaur]

bot в сообщении #413214 писал(а):

(Оффтоп)

Долго путался с odd и even - кто из них чётный. Потом заметил, что в первом слове нечётное число букв, а во втором чётное и путаница прекратилась. Но как-то раз задумался, а ведь если бы оказалось наоборот, то ведь и тогда запомнить было бы просто - надо посчитать буквы и и сделать протиположный вывод. С тех пор снова стал путаться.

(Оффтоп)

Я таким "выводом наоборот" запомнил, что не пристало мужчинам прокалывать ПРАВое ухо.