Дифференциальное уравнение

[myra_panama]

Найти все бесконечно дифференцируемые функции $u(x,y,z)$ , удовлетворяющие системе уравнении

$$ \left\{ \begin{array}{cc} \frac {\delta u}{\delta x}=\frac{\delta^2u }{\delta y \delta z} \\ \frac {\delta u}{\delta y}=\frac{\delta^2 u}{\delta z \delta x} \\ \frac {\delta u}{\delta z}=\frac{\delta^2 u}{\delta x \delta y} \end{array} $$

[mihiv]

Сложим первое и второе уравнения получим:$u_x+u_y=\frac {\partial }{\partial z}(u_x+u_y)$,или после интегрирования:$u_x+u_y=f_1(x,y)e^z,$где $f_1$-произвольная функция.
Аналогично получим $u_x+u_z=f_2(x,z)e^y,u_y+u_z=f_3(y,z)e^x$,отсюда $u_x+u_y+u_z=\frac 12(f_1e^z+f_2e^y+f_3e^x)$.И $u_x=\frac 12(f_1e^z+f_2e^y-f_3e^x)$.Интегрируем по $x$ и получаем:$u(x,y)=g_1(x,y)e^z+g_2(x,z)e^y+g_3(y,z)e^x+g_4(y,z)$

[ИСН]

mihiv, у Вас не слишком дофига произвольных функций? Можно, я положу одну из них равной единице, а остальные - нулю?

[Ales]

Из первого и второго получить $\frac {\partial u} {\partial x}=\frac {\partial ^2} {\partial z^2}\frac {\partial u} {\partial x}$, отсюда $\frac {\partial u} {\partial x}=f_{x1}(x,y)e^z+f_{x2}(x,y)e^{-z}$ и значит $u=f_1(x,y)e^z+f_2(x,y)e^{-z}+f_3(y,z)$.
Но можно получить и $u=g_1(x,y)e^z+g_2(x,y)e^{-z}+g_3(x,z)$.
Значит $u=f_1(x,y)e^z+f_2(x,y)e^{-z}+f_3(z)$, но из третьего уравнения
$\frac {\partial ^2} {\partial x\partial y}f_1(x,y)e^z+\frac {\partial ^2} {\partial x\partial y}f_2(x,y)e^{-z}=f_1(x,y)e^z-f_2(x,y)e^{-z}+f_3'(z)$.
Значит $u=f_1(x,y)e^z+f_2(x,y)e^{-z}+Const$.
И можно получить в конце-концов:
$c_0+c_1e^{x+y+z}+c_2e^{x-y-z}+c_3e^{-x+y-z}+c_4e^{-x-y+z}$.

Но наверное, еще лучше сразу разложить по гармоникам $e^{ax+by+cz}$ и получить:
$a=bc, b=ac, c=ab$.

[myra_panama]

Ales в сообщении #406886 писал(а):

Из первого и второго получить $\frac {\partial u} {\partial x}=\frac {\partial ^2} {\partial z^2}\frac {\partial u} {\partial x}$, отсюда $\frac {\partial u} {\partial x}=f_{x1}(x,y)e^z+f_{x2}(x,y)e^{-z}$ и значит $u=f_1(x,y)e^z+f_2(x,y)e^{-z}+f_3(y,z)$.
Но можно получить и $u=g_1(x,y)e^z+g_2(x,y)e^{-z}+g_3(x,z)$.
Значит $u=f_1(x,y)e^z+f_2(x,y)e^{-z}+f_3(z)$, но из третьего уравнения
$\frac {\partial ^2} {\partial x\partial y}f_1(x,y)e^z+\frac {\partial ^2} {\partial x\partial y}f_2(x,y)e^{-z}=f_1(x,y)e^z-f_2(x,y)e^{-z}+f_3'(z)$.
Значит $u=f_1(x,y)e^z+f_2(x,y)e^{-z}+Const$.
И можно получить в конце-концов:
$c_0+c_1e^{x+y+z}+c_2e^{x-y-z}+c_3e^{-x+y-z}+c_4e^{-x-y+z}$.

Но наверное, еще лучше сразу разложить по гармоникам $e^{ax+by+cz}$ и получить:
$a=bc, b=ac, c=ab$.

очень красиво. У меня dот так получилось:
Дифференцируе первое равенство x , второе y , третье z получаем:
$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=$$\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=$$\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}$
второго равенства подставим вправуя часть первого дает:
$\frac{\partial u}{\partial x}=$ $$\frac{\partial }{\partial z}(\frac{\partial u}{\partial y})=$ $\frac{\partial^3 u}{{\partial x}{\partial z^2}}$
откуда, $\frac{\partial }{\partial x}(u-\frac{\partial^2 u}{\partial z^2})$
Выполнение эти операции приводят к равенствам:
$u-\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=$$u-\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=$$u-\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}$
Отсюда можем найти ответ Ales
:$u=c_0+c_1e^{x+y+z}+c_2e^{x-y-z}+c_3e^{-x+y-z}+c_4e^{-x-y+z}$.

[Ales]

myra_panama в сообщении #406930 писал(а):

Выполнение эти операции приводят к равенствам:
$u-\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=u-\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=u-\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}$

Пропущено: $u-\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=u-\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=u-\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=const$

-- Пн янв 31, 2011 12:26:49 --

myra_panama в сообщении #406930 писал(а):

откуда, $\frac{\partial }{\partial x}(u-\frac{\partial^2 u}{\partial z^2})$

Пропущено:
$\frac{\partial }{\partial x}(u-\frac{\partial^2 u}{\partial z^2})=0$

-- Пн янв 31, 2011 12:29:37 --

Пропущено доказательство, что других решений нет.

[myra_panama]

да правилно просто у меня ленность....