Еще одно уравнение параболы

[dmitryf]

Есть задача с решением, но не могу понять как оно получается.

Условие. Написать уравнение параболы, проходящей через точку (0, 1), для которой прямая x-2y=0 служит диаметром, а прямая x+y=0 - касательная в точке пересечения этого диаметра с параболой.

Решение.
1. Записано уравнение:
$A(X^{'})^2 + CY^{'} = 0$
(я предполагаю, что это уравнение параболы, если оси координат имеют сопряженные направления, в учебнике оно имеет вид: $a_{22}y^{2} + 2a_1x + a_0=0$, правда нет члена с первой степенью x?).

2. Дальше в решение написано касательная - ось, диаметр - ось, в первое уравнение подставили уравнения касательной и диаметра:
$A(x-2y)^2 + C(x+y) = 0$
3. Вычислили коэффициенты:
$4A + C = 0 \mapsto -4=\frac{C}{A}$
4. И получили уравнение:
$(x-2y)^2 - 4(x+y)=0$

Не могу понять пункты 2 и 3, почему надо подставлять уравнения прямых в уравнение кривой и откуда получается уравнение 3?

Спасибо.

[paha]

dmitryf в сообщении #406960 писал(а):

Дальше в решение написано касательная - ось, диаметр - ось

не может быть, чтобы так было написано, ибо у параболы "ось" -- это ось симметрии:)

Решение опирается на следующее (вероятно, доказанное ранее) утверждение:

Если прямые $Ax+By+C=0$ и $ax+by+c=0$ пересекаются, то
уравнение $(Ax+By+C)^2=ax+by+c$ является уравнением параболы, для которой прямая $Ax+By+C=0$ является диаметром, а прямая $ax+by+c=0$ -- касательной, сопряженной этому диаметру.

[dmitryf]

А где можно посмотреть на это доказательство ни в лекциях, ни в учебнике Александрова найти не могу?

[paha]

если не знать такого полезного свойства, то исходную задачу можно решать "в лоб":
1) диаметр параллелен оси симметрии, поэтому она имеет вид $x-2y+c=0$
2) касательная в вершине параболы перпендикулярна оси симметрии, поэтому имеет вид $2x+y+d=0$
3) Таким образом уравнение искомой параболы имеет вид $(x-2y+c)^2=A(2x+y+d)$
4) точка $(0;1)$ лежит на параболе, поэтому $(c-2)^2=A(1+d)$
5) прямая $y=-x$ касается параболы в точке $(0;0)$, поэтому уравнение $(3x+c)^2=A(x+d)$ имеет единственное решение $x=0$

Переписывая последнее уравнение в виде $9x^2+(6c-A)x+c^2-Ad=0$ получим $A=6c$, $c^2=Ad$ откуда получим $d=1/15$, $c=2/5$, $A=12/5$

можете это подставить в уравнение $(x-2y+c)^2=A(2x+y+d)$ и получить

dmitryf в сообщении #406960 писал(а):

$(x-2y)^2 - 4(x+y)=0$

-- Пн янв 31, 2011 11:48:41 --

dmitryf в сообщении #406986 писал(а):

А где можно посмотреть на это доказательство

так придумайте его сами:)

[dmitryf]

Спасибо, в "лоб" все понятно, кроме пункта 3. Похоже я не знаю чего-то фундаментального, но почему уравнение параболы можно записать таким образом через уравнение осей? Интуитивно я догадываюсь, что осями теперь служат не уравнения x=0 и y=0, а уравнения прямых, но почему их можно просто подставить?

[Алексей К.]

dmitryf в сообщении #407043 писал(а):

Спасибо, в "лоб" все понятно, кроме пункта 3...
...но почему их можно просто подставить?

paha в сообщении #406987 писал(а):

3) Таким образом уравнение искомой параболы имеет вид $(x-2y+c)^2=A(2x+y+d)$

Потому что уравнение параболы $y=Ax^2$ можно записать в виде

$$\text{\it\small расстояние от точки на параболе до той самой касательной}=A(\text{\it\small расстояние от точки на параболе до оси})^2,$$

и это теперь останется верным при любых поворотах параболы. Точнее, в формуле, написанной paha, не совсем расстояния, а величины, им пропорциональные, но это не меняет сути дела: всё равно у нас там фигурирует некий дополнительный коэффициент пропорциональности.

[dmitryf]

Ага, была такая мысль, теперь понятно, используется просто формула расстояния от точки до прямой без нормализации. Спасибо.