Где ошибка? (длина окружности, pi=4?)

[100%straightguy]

наткнулся на такую картинку в интернете:

где ошибка??

[Joker_vD]

В том, как определятся длина кривой: по вписанным ломанным.

[maikle]

Уменьшается площадь фигуры, ограниченной ломаной, а не периметр ломаной.

[caxap]

В Демидовиче был похожий пример: предел длины зигзагообразной ломаной при уменьшении длины звеньев больше длины "предельного" отрезка. Ещё есть сапог Шварца.

[ewert]

caxap в сообщении #406779 писал(а):

Ещё есть сапог Шварца.

Это другая тема. Тот сапог иллюстрирует, что площадь поверхности (в отличие от длины кривой) нельзя аппроксимировать просто так, просто вписанными многогранниками.

[MaximVD]

Есть очень похожий пример в вариационном исчислении и иллюстрирует он следующий факт (не строго): длина кривой не является непрерывной функцией от кривой в равномерной метрике (она является непрерывной функцией от производной).
Если чуть конкретнее: если есть последовательность кривых, которая "равномерно" сходится к некоторой кривой, то длина этой кривой вовсе не обязана быть пределом длин кривых из последовательности, поскольку длина кривой не является непрерывной функцией относительно такого вида сходимости (что и показано в примере).

[Виктор Викторов]

100%straightguy в сообщении #406770 писал(а):

где ошибка??

Joker_vD в сообщении #406772 писал(а):

В том, как определятся длина кривой: по вписанным ломанным.

Joker_vD!
Думаю, что Вы ошибаетесь. Проблема не в том вписанная ломанная или описанная. А в том, как этот процесс происходит. Если бы мы рассматривали последовательность описанных ломанных правильных многоугольников, то пришли бы к длине окружности. Но построенная здесь последовательность явно не сходится к окружности, а последовательность длин просто последовательность четверок.

[arseniiv]

Просто длина спрямляемой кривой не так определяется, потому тот предел и не длина.

[Joker_vD]

Виктор Викторов в сообщении #406860 писал(а):

Думаю, что Вы ошибаетесь. Проблема не в том вписанная ломанная или описанная.

Отнюдь. Это сердце этой проблемы. Берем кривую. Берем множество всех вписанных в нее ломаных. Берем множество длин всех вписанных в кривую ломаных. Точняя верхняя грань этого множества называется длиной кривой. Поскольку ломаная с картинки не является вписанной в окружность, ее длина с длиной окружности никак не соотносится.

Виктор Викторов в сообщении #406860 писал(а):

Но построенная здесь последовательность явно не сходится к окружности

Что значит, что "ломанная сходится/не сходится к окружности"? Наша ломанная неограниченно приближается к окружности. Нужно что-то еще?

[Виктор Викторов]

Joker_vD в сообщении #406876 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #406860 писал(а):

Думаю, что Вы ошибаетесь. Проблема не в том вписанная ломанная или описанная.

Отнюдь. Это сердце этой проблемы. Берем кривую. Берем множество всех вписанных в нее ломаных. Берем множество длин всех вписанных в кривую ломаных. Точняя верхняя грань этого множества называется длиной кривой. Поскольку ломаная с картинки не является вписанной в окружность, ее длина с длиной окружности никак не соотносится.

Как с Вашей точки зрения, если мы рассмотрим описанные правильные многоугольники, то получим ли мы в пределе длин этих многоугольников длину окружности или нет?

Joker_vD в сообщении #406876 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #406860 писал(а):

Но построенная здесь последовательность явно не сходится к окружности

Что значит, что "ломанная сходится/не сходится к окружности"? Наша ломанная неограниченно приближается к окружности. Нужно что-то еще?

Что значит «Наша ломанная неограниченно приближается к окружности»? Осторожно! Дайте определение.

[ewert]

Какой-то абстрактный разговор. Та прямоугольная линия не является ни вписанной, ни описанной. А понятие "описанной" и вообще-то имеет смысл только для выпуклых кривых, т.е., для мало-мальски общего случая -- и вообще никакого смысла.

(я уж боюсь даже и упомянуть о других возможных смыслах)

-- Пн янв 31, 2011 01:21:18 --

Какой-то абстрактный разговор. Та прямоугольная линия не является ни вписанной, ни описанной. А понятие "описанной" и вообще-то имеет смысл только для выпуклых кривых, т.е., для мало-мальски общего случая -- и вообще никакого смысла.

(я уж боюсь даже и упомянуть о других возможных смыслах)

[paha]

Joker_vD в сообщении #406876 писал(а):

Отнюдь. Это сердце этой проблемы.

Это не сердце. Точно таким же способом "лесенкой" доказывается что гипотенуза равна сумме катетов:)

[Joker_vD]

Виктор Викторов в сообщении #406880 писал(а):

Как с Вашей точки зрения, если мы рассмотрим описанные правильные многоугольники, то получим ли мы в пределе длин этих многоугольников длину окружности или нет?

Получим. Ну, совпадение, всякое в жизни бывает. А если рассмотрим неправильные многоугольники? Во-о-от.

Виктор Викторов в сообщении #406880 писал(а):

Что значит «Наша ломанная неограниченно приближается к окружности»? Осторожно! Дайте определение.

Даю. Пусть $C$ — окружность, $D = \{\,D_n\,\}_{n=1}^{\infty}$ — последовательность ломанных. Рассмотрим расстояние между $C$ и $D_n$: $\rho(C,D_n) = \sup\limits_{a \in D_n} \left\{\, \inf\limits_{b \in C} \rho(a,b) \,\right\}$. Будем говорить, что ломанная $D$ неограниченно приближается к окружности $C$, если $\rho(C,D_n) \xrightarrow[n\rightarrow\infty]{} 0$.

paha
Ну да. Гипотензуа — это прямая, т.е. частный случай кривой, и единственная вписанная в нее ломанная — она сама. Поэтому длины всех остальных ломанных не имеют никакого отношения к длине прямой.

Виктор Викторов
Во, а еще можно по другому определить сходимость ломанных к кривой: количество общих точек неограничено возрастает. Обсуждаемые ломанные удовлетворяют этому определению.

[paha]

Данный пример иллюстрирует следующий факт: функционал длины $l:C([0;1],\mathbb{R}^2)\to\mathbb{R}$ не является непрерывным (здесь $C([0;1],\mathbb{R}^2)$ -- пространство непрерывных отображений $\gamma:[0;1]\to\mathbb{R}^2$ с метрикой $\rho(\gamma,\mu)=\max_{t\in[0;1]}|\gamma(t)-\mu(t)|$)

-- Пн янв 31, 2011 00:35:24 --

Joker_vD в сообщении #406888 писал(а):

Даю.

Вы могли бы просто сказать: сходится по Хаусдорфу. Но Хаусдорф длину совсем не уважает (тем более Вы неправильно это определение дали -- у Вас "метрика" несимметрична).

[Joker_vD]

paha
Ну, я не знал, что это называется сходимостью по Хаусдорфу И ладно, что неправильно, пусть это будет сходимость по Хо- по моей фамилии, короче. Ну да, не уважает, что мы и видим на примере. Другой вопрос: а почему не уважает? А потому что см. выше.

Ладно, тут уже начинает пахнуть философствованием. Я просто хотел сказать, что длина вон тех ломанных никак не связана с длиной окружности по той причине, что такие ломанные игнорируются определением длины кривой.