Единица в кольце идемпотентов

[Профессор Снэйп]

В разделе "помогите решить/разобраться" есть тема про $\aleph_1$. Предлагаю задачу по её мотивам. Более того, если хотите порешать, лучше не читайте пока ту тему, ибо там есть слишком мощная подсказка

Пусть $R$ --- ассоциативное коммутативное кольцо и $r^2 = r$ для любого $r \in R$.

1) Докажите, что если $R$ конечно, то оно содержит единицу.

2) Приведите пример бесконечного $R$, удовлетворяющего заданным условиям и не являющегося кольцом с единицей.

[Хорхе]

1) вроде кольцевая структура ни к чему и справедливо для конечной полугруппы (даже вроде некоммутативной); будет время - напишу;

2) $(\mathbb{Z}_2^{\mathbb N})_0$ ("финитные").

[bot]

Хорхе в сообщении #400004 писал(а):

будет время - напишу;

Не получится, конечных идемпотентных полугрупп без единицы даже коммутативных хоть лопатой греби.

[Профессор Снэйп]

Хорхе в сообщении #400004 писал(а):

1) вроде кольцевая структура ни к чему и справедливо для конечной полугруппы (даже вроде некоммутативной); будет время - напишу;

Пусть $S = \{ \{ 0 \}, \{ 1 \}, \{ 0,1 \} \}$. Относительно объединения $S$ коммутативная полугруппа, каждый элемент идемпотентен, единицы нет!

-- Пт янв 14, 2011 22:23:01 --

Хорхе в сообщении #400004 писал(а):

2) $(\mathbb{Z}_2^{\mathbb N})_0$ ("финитные").

Другими словами, множество конечных подмножеств $\mathbb{N}$ с пересечением в качестве умножения и симметрической разностью в качестве сложения. Ага, оно

-- Пт янв 14, 2011 22:27:05 --

Вот ещё туда же...

3) Пусть $I$ --- ассоциативное, коммутативное, с идемпотентным умножением, $R$ --- ассоциативное, коммутативное, с идемпотентным умножением и единицей. Доказать, что существует коммутативное, ассоциативное кольцо $S$ с идемпотентным умножением и единицей, такое что $I \lhd S$ и $S/I \cong R$.

-- Пт янв 14, 2011 22:38:09 --

bot в сообщении #400021 писал(а):

конечных идемпотентных полугрупп без единицы даже коммутативных хоть лопатой греби.

Ага, есть такое.

Берём произвольную верхнюю полурешётку, операция --- взятие точной верхней грани. Ассоциативность, коммутативность, идемпотентность в наличии. Единицей будет наименьший элемент и единица будет существовать тогда и только тогда, когда в исходной полурешётке есть наименьший (в конечном случае это равносильно тому, что полурешётка является решёткой).

-- Пт янв 14, 2011 22:45:59 --

Можно, кстати, и в обратную сторону. Пусть $S$ --- коммутативная идемпотентная полугруппа. Для $a,b \in S$ положим $a \leqslant b \Leftrightarrow ab = b$. Рефлексивность есть из идемпотентности. Транзитивность: $ab = b$, $bc = c$, $ac = abc = bc = c$. Антисимметричность: $ab = b$, $ba = a$, $a = ba = ab = b$. Значит, введённое отношение --- частичный порядок. Из $aab = ab$ и $bab = bba = ba = ab$ получаем, что $ab$ --- верхняя грань для $a$ и $b$. Наконец, если $ac = c$ и $bc = c$, то $abc = ac = c$, так что $ab$ --- точная верхняя грань.

[Хорхе]

1) да, это я загнул, спутал с ноликом, который есть (хотя только в коммутативной). Впрочем, несложно доказать, что такое кольцо изоморфно $\mathbb{Z}_2^n$. Написал бы, да долго.

[Профессор Снэйп]

Хорхе в сообщении #400177 писал(а):

...такое кольцо изоморфно $\mathbb{Z}_2^n$.

Да, это так.

Хорхе в сообщении #400177 писал(а):

Написал бы, да долго.

Изоморфизм с $\mathbb{Z}_2^n$, может быть, и долго доказывается, но наличие единицы в кольце --- совсем коротко. Буквально в несколько строчек

-- Сб янв 15, 2011 03:27:57 --

Хорхе в сообщении #400177 писал(а):

...спутал с ноликом, который есть (хотя только в коммутативной).

И при этом конечной, в бесконечной может и не быть. Впрочем, как раз конечные полугруппы и имелись в виду.

[bot]

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #400212 писал(а):

Относительно объединения S коммутативная полугруппа, каждый элемент идемпотентен, единицы нет!

Кстати, это коммутативный пример минимального порядка и среди 3-элементных такая полугруппа единственна с точностью до изоморфизма.

[Профессор Снэйп]

bot в сообщении #400250 писал(а):

Кстати, это коммутативный пример минимального порядка и среди 3-элементных такая полугруппа единственна с точностью до изоморфизма.

Ну дык само-собой! Соответствует верхней полурешётке минимального порядка, которая не является решёткой

[bot]

А почему само собой? Некоммутативных больше и даже двухэлементная есть

-- Сб янв 15, 2011 09:49:42 --

А ну да - пропустил

Профессор Снэйп в сообщении #400023 писал(а):

Можно, кстати, и в обратную сторону.

[Хорхе]

Профессор Снэйп в сообщении #400212 писал(а):

Изоморфизм с $\mathbb{Z}_2^n$, может быть, и долго доказывается, но наличие единицы в кольце --- совсем коротко. Буквально в несколько строчек

Хм, у меня наличие единицы только из изоморфизма удалось вывести. Кстати, он тоже доказывается буквально в несколько строчек

[Профессор Снэйп]

Хорхе в сообщении #400289 писал(а):

Хм, у меня наличие единицы только из изоморфизма удалось вывести. Кстати, он тоже доказывается буквально в несколько строчек

(Решение номера 1)

Для произвольного $x \in R$ выполняется $x + x = (x + x)^2 = x^2 + x^2 + x^2 + x^2 = x + x + x + x$ и $x + x = 0$. Отсюда для произвольных $x,y \in R$ следует $(x + y + xy)x = x(x + y + xy) = x^2 + xy + x^2 y = x + xy + xy = x$.

Пусть теперь $e \in R$ таково, что $eR$ --- главный идеал, максимальный по включению среди всех главных идеалов $R$. Тогда для произвольного $x \in R$ имеем $(x + e + xe)R \supseteq (x + e + xe)eR = eR$ и, в силу максимальности, $(x + e + xe)R = eR$. Значит, $x = (x + e + xe)x = er$ для некоторого $r \in R$ и $ex = eer = er = x$.

А Ваши несколько строчек?

И как, кстати, с третьим номером?

Профессор Снэйп в сообщении #400023 писал(а):

3) Пусть $I$ --- ассоциативное, коммутативное, с идемпотентным умножением, $R$ --- ассоциативное, коммутативное, с идемпотентным умножением и единицей. Доказать, что существует коммутативное, ассоциативное кольцо $S$ с идемпотентным умножением и единицей, такое что $I \lhd S$ и $R \cong S/I$.

[Хорхе]

(Оффтоп)

Моих строчек раз в пять больше, но никто же не станет спорить с тем, что их несколько :)

Наивный вопрос: снимается, понял. Да, изящно.

[lofar]

Существование единицы. Пусть $e\in R$ имеет минимальный аннулятор. Как и для всякого идемпотента имеем разложение в прямую сумму идеалов: $R = eR\oplus An(e)$. Значит, для любого $\alpha\in An (e)$ имеем $An(e + \alpha)\leqslant An(e)$. Из минимальности следует, что $An(e + \alpha)= An(e)$. Тогда для любого $x = ea +\alpha \in R$ имеем $An(e)\leqslant An(x)$. Следовательно $An(e) = 0$ (идемпотентность кольца). Так что, из равенства $e(ex-x)=0$ получаем $ex-x=0$.

Гомоморфизм. Пусть $J$ -- максимальный идеал в $R$. Из идемпотентности $R$ следует, что $R = J\oplus (1\cdot\mathbb{Z}_2)$ в смысле $\mathbb{Z}_2$-пространств; а умножение действует так: $(j_1+\alpha_1)(j_2+\alpha_2) = (j_1j_2+\alpha_1j_2+\alpha_2 j_1) + (\alpha_1\alpha_2)$. То есть $R \cong J^{\#}$, где $\#$ означает присоединение к алгебре внешней единицы. Пусть $S = (I\oplus J)^{\#}$. Искомый гомоморфизм $f$ определяем так: $f\colon (i, j) + \alpha\mapsto j +\alpha\in J^{\#}=R$.