(ТФКП) Помогите вычислить несколько интегралов

[svv]

Но Вы можете сказать, какие в 1) особые точки? Проверить, не ошибся ли знакомый.

[Shamanishche]

$z^{10}=2$
Возможные решения: (-1.07177341486965; 1.07177341486965)
Все особые точки входят в область

[svv]

А вот ещё точка: $z=\sqrt[10] {2} e^{\frac {3 \pi i} 5}=\sqrt[10] {2} \left (\cos \frac {3 \pi} 5 + i \sin \frac {3 \pi} 5 \right )= -0.331196214043795648 + 1.01931713553736128 i$
Проверяем: $z^{10}=\left(\sqrt[10] {2}\right)^{10} \left(e^{\frac {3 \pi i} 5}\right)^{10} = 2 e^{\frac {30 \pi i} 5} = 2 e^{6 \pi i} = 2$
Спрашивается: откуда она взялась? И сколько ещё их таких?

[Shamanishche]

Не знаю. Что ты хочешь этим сказать?

[svv]

Что уравнение $z^{10}-2=0$ даёт $10$ разных точек в комплексной плоскости.
Их общая формула $z=\sqrt[10] {2} e^{\frac {n \pi i} 5}$, где $n=0..9$, дальше будет повторение.
При $n=0$ и $n=5$ получатся Ваши решения (проверьте!). При $n=3$ будет мой пример.

[Shamanishche]

ну так они все входят в область или нет?

[svv]

Входят. Но Вы же не могли утверждать, что "все входят", пока Вы не выяснили, а какие там вообще есть особые точки. А я точно знал, что этих Вы не видели.

Вот я и помог Вам, показал ещё несколько. Пока Вы их не рассмотрели, утверждение "все особые точки входят в область" было бы голословным.

Кстати, если Вас попросят "а докажите, что эти точки внутри области", что ответите?

[Shamanishche]

дам ссылку на Вас

[svv]

Не, Shamanishche, я так понял, Вы и вправду хотите разобраться.
Смотрите, вот общая формула для этих 10 полюсов: $z=\sqrt[10] {2} e^{\frac {n \pi i} 5}$
Вы видите, что это показательная форма записи? Где здесь модуль и где аргумент?

Если не знаете, погуглите "показательная форма комплексного числа", посмотрите на неё и узнайте её в том, что я написал.

[Shamanishche]

да знаю вроде, $ \sqrt[10] {2} $ -модуль $ e^{\frac {n \pi i} 5}$$ - аргумент

[svv]

Модуль $\sqrt[10] {2} $ правильный, а аргумент здесь $\frac {n \pi} 5$.
Получается, что у всех этих полюсов (корней уравнения $z^{10}=2$) модуль один, а аргументы разные.
Ваш контур интегрирования $|z|=2$, то есть модуль равен $2$. А у всех этих полюсов он только $\sqrt[10] {2} $, потому они внутри области.

Дальше. Вы знаете, что модуль комплексного числа -- это расстояние точки $z=x+iy$ от нуля, а аргумент -- это угол? (и какой?)

[integral2009]

По-моему проще так сделать

$z=|z|e^{i\phi+2\pi n}$

$z^{10}=2$

$[|z|e^{i\phi+2\pi n}]^{10}=2$

А дальше подумайте)

[ewert]

svv в сообщении #406384 писал(а):

Вы знаете, что модуль комплексного числа -- это расстояние

Рано. Сначало надо честно выписать сумму всех вычетов -- пока что формально.

[Shamanishche]

аа, ну да, точно) $ \frac {n \pi} 5 $

svv в сообщении #406384 писал(а):

модуль комплексного числа -- это расстояние точки $z=x+iy$ от нуля, а аргумент -- это угол? (и какой?)

Знаю..

Аргумент - это угол между вещественной осью и отрезком соединяющим точку $z=x+iy$ с нулём

[svv]

ewert писал(а):

Рано. Сначало надо честно выписать сумму всех вычетов -- пока что формально.

Я хочу на пальцах объяснить, почему полюсы именно в этих точках.

Вот. А теперь примите во внимание:
1) $z^{10} = z \cdot z \cdot z \cdot z\cdot z \cdot z \cdot z \cdot z \cdot z \cdot z$
2) При умножении двух комплексных чисел их модули умножаются, а аргументы складываются.
Чему равно произведение $10$ одинаковых множителей, каждый из которых равен модулю $\sqrt[10] 2$?
Чему равна сумма $10$ одинаковых слагаемых, каждый из которых равен аргументу $\frac {n\pi} 5$?