Дифференцирование наполовину

[В.О.]

Мы спорим о несущественных деталях. Вы не согласны, что дробную производную можно определить через степенной ряд хоть для какого-нибудь класса функций?

-- Сб янв 29, 2011 20:23:49 --

Кстати, вот здесь http://www.mathnet.ru/links/78042aa9906 ... rm8957.pdf на стр 172 есть необходимое и достаточное условие аналитичности функции в интервале. Производные должны расти не быстрее, грубо говоря, факториала. Умножение и деление на корень не выводят из этого класса, т.е. дробное дифференцирование можно рассматривать на классе аналитических функций.

[ewert]

В.О. в сообщении #406319 писал(а):

Вы не согласны, что дробную производную можно определить через степенной ряд хоть для какого-нибудь класса функций?

Нет. Во всяком случае, Ваша конструкция смысла пока что не имеет.

Говорить о разложении функции в ряд Тейлора можно только внутри того круга с центром в нуле, в котором она аналитична. После применения Вашей "полупроизводной" она по-прежнему будет раскладываться в ряд в этом же круге, но теперь ноль будет уже точкой ветвления. Т.е. функции на выходе Вашего оператора не имеют ничего общего с функциями на входе (не считая тривиального случая константы). И поэтому применять к ним Ваш замечательный оператор ещё раз нельзя. Он на них просто не определён.

[В.О.]

Речь идет об аналитической функции действительного переменного.

[ewert]

В.О. в сообщении #406336 писал(а):

Речь идет об аналитической функции действительного переменного.

Не имеет значения: это -- всего лишь след на вещественной оси некоторой аналитической функции комплексной переменной. Видите ли, если степенной ряд сходится на некотором интервале, то он (по теореме Абеля) заведомо сходится и в комплексном круге, диаметром которого является этот интервал.

[В.О.]

Вы ссылку посмотрели?

-- Сб янв 29, 2011 20:47:34 --

Если после дробного дифференцирования ряд сходится на интервале, то он сходится к однозначно определенной функции. Если к этой функции применить повторное дробное дифференцирование и ряд опять будет сходиться, то получится первая производная. Все остальное от лукавого.

[ewert]

В.О. в сообщении #406345 писал(а):

Вы ссылку посмотрели?

А Вы?... На с.172 там про ряды вообще ни слова.

-- Сб янв 29, 2011 20:59:19 --

В.О. в сообщении #406345 писал(а):

Если после дробного дифференцирования ряд сходится на интервале, то он сходится к однозначно определенной функции.

На интервале -- да. Но его сумма не совпадает ни с одной из функций, к которым применялась предыдущая операция дифференцирования и на которых она была определена. Следовательно, повторно применять эту операцию Вы не имеете формального права.

[В.О.]

Там про рост производной, ё-маё! А производная входит в коэффициенты ряда Тейлора.
Ладно, посмотрите еще русскую википедию http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D1% ... 0%B0%D1%8F
Тут описана замечательная конструкция, которую Вы назвали моей.

-- Сб янв 29, 2011 21:12:25 --

ewert в сообщении #406351 писал(а):

его сумма не совпадает ни с одной из функций, к которым применялась предыдущая операция дифференцирования и на которых она была определена. Следовательно, повторно применять эту операцию Вы не имеете формального права.

С чего Вы это взяли? Почему дробная производная не может входить в класс дробно дифференцируемых функций?
Посмотрите википедию и давайте заканчивать. Уже все ясно.

-- Сб янв 29, 2011 21:13:44 --

Единственный интересный вопрос это всегда ли совпадают все возможные определения?

[ewert]

В.О. в сообщении #406356 писал(а):

Там про рост производной, ё-маё! А производная входит в коэффициенты ряда Тейлора.

Мало ли что куда входит. Речь была вовсе не о сходимости ряда, а об осмысленности самой конструкции.

В.О. в сообщении #406356 писал(а):

Тут описана замечательная конструкция, которую Вы назвали моей.

Она там не очень внятно описана, но привести её в чувство всё-таки можно. К сожалению, класс дифференцируемых функций будет жестковат (у них в нуле -- обязательно точки ветвления), ну да ладно. Только Ваша конструкция -- совсем не ихняя.

-- Сб янв 29, 2011 21:43:26 --

В.О. в сообщении #406356 писал(а):

Почему дробная производная не может входить в класс дробно дифференцируемых функций?

Ваша производная не может в принципе входить ни в один класс, т.к. Вы никакого класса и не описали.

[В.О.]

ewert в сообщении #406376 писал(а):

Вы никакого класса и не описали.

Хорошо, еще раз схематично.
1.Дробные производные определяем на классе аналитических на интервале функций действительного переменного.
2. Этот класс дробные производные сохраняют, что следует из описания аналитических функций приведенного по ссылке.
3. Если аналитичность сохраняется, то дробные производные можно последовательно применять несколько раз.

Если Вам действительно хочется понять написанное, то скажите. Я постараюсь объяснить. Но мне кажется, что Вы просто ко мне при...как бы это сказать, ... цепляетесь, словом.

[ewert]

В.О. в сообщении #406386 писал(а):

Дробные производные определяем на классе аналитических на интервале функций действительного переменного.

Ничего подобного, вовсе не определяем. Если ноль содержится внутри интервала аналитичности, то к таким функциям половинное дифференцирования не применимо, т.к. выводит из этого пространства. Если же не содержится -- то такие функции не раскладываются, вообще говоря, степенной ряд.

Я ведь просил Вас объяснить, в каком пространстве Ваш замечательный оператор действует. Именно "в" каком, и это принципиально, поскольку предполагается его повторное применение. Вы же категорически отказываетесь это сделать, а напрасно: если бы попытались -- в момент увидели бы, что Ваша версия никуда не годится.

[В.О.]

ewert в сообщении #406416 писал(а):

Если ноль содержится внутри интервала аналитичности, то к таким функциям половинное дифференцирования не применимо, т.к. выводит из этого пространства.

Вы можете это доказать или дать ссылку на доказательство?

ewert в сообщении #406416 писал(а):

Если же не содержится -- то такие функции не раскладываются, вообще говоря, степенной ряд.

Это, вообще, пурга. Возмите функцию х на интервале (1,2). Ноль не содержится, но в ряд прекрасно раскладывается.

ewert , у Вас проблемы с материалом первого курса. Вы, самоучка? Извините, я не хочу Вас обидеть. Я хочу понять с кем разговариваю. Вы прекрасно объяснили про преобразование Фурье, но путаетесь в элементарных вещах.

[ewert]

В.О. в сообщении #406505 писал(а):

у Вас проблемы с материалом первого курса.

ТФКП -- это не первый курс. Во всяком случае, на первом курсе её давать нельзя, и я не слышал, чтобы кто-то кому-то где-то давал.

[В.О.]

Хорошо, бог с ним с первым курсом. Выше Вы, конечно, немножко нафантазировали. В этом нет трагедии. Все грешны.
Смотрите, у дробной производной между первой и нулевой, и свойства, скорее всего, будут промежуточными. Это не доказательство, но очень правдоподобная гипотеза. У аналитической функции первая производная тоже будет аналитической функцией. Значит дробные производные тоже будут аналитическими. Впрочем, это я уже доказал строго.

[Sonic86]

Есть какая-то книжка в колхозе про производные дробного порядка. Вот только название забыл...

[ewert]

В.О. в сообщении #406622 писал(а):

у дробной производной между первой и нулевой, и свойства, скорее всего, будут промежуточными.

Какие конкретно свойства?...

В.О. в сообщении #406622 писал(а):

Значит дробные производные тоже будут аналитическими.

Что в точности Вы понимаете под аналитичностью?

Пока Вы не определите, в каком именно классе функций определены Ваши производные -- любые дальнейшие рассуждения бессмысленны.