Очень точное приближение для числа pi

[Legioner93]

Здравствуйте! Только что я обнаружил замечательное приближение: $\frac{\pi}{2}=10^{\frac{10}{51}}$. Калькулятор дает для числа $sin(10^{\frac{10}{51}})$ значение $0.999999989$! Спасибо.

[12d3]

Рациональные приближения в Mathematica:
$\text{Convergents}[\text{Log10}[\pi /2],10]$
$\left\{0,\frac{1}{5},\frac{10}{51},\frac{91}{464},\frac{465}{2371},\frac{556}{2835},\frac{1021}{5206},\frac{1577}{8041},\frac{2598}{13247},\frac{17165}{87523}\right\}$
А с синусом - это читерство. $ \Delta=10^{\frac{10}{51}}-\frac{\pi}{2} \approx 10^{-4}$, а $1-\sin(\frac{\pi}{2}+\Delta) =1- \cos{\Delta} \approx \frac{\Delta^2}{2}$

[ALXR]

Еще точнее: $\frac{\sqrt[4] {\frac{2143}{22}}}{2}$

[venco]

Я бы оценивал "замечательность" приближения сравнением количества правильных цифр, которое даёт приближение, и суммы количества цифр и операций в записи формулы приближения.
В этом смысле ни $355\over113$, ни то, что вы привели, увы, не "замечательны".

[VPro]

venco в сообщении #312285 писал(а):

Я бы оценивал "замечательность" приближения сравнением количества правильных цифр, которое даёт приближение, и суммы количества цифр и операций в записи формулы приближения.
В этом смысле ни $355\over113$, ни то, что вы привели, увы, не "замечательны".

В таком случае $\frac{22}{7}$ (3 верных цифры), $\frac{355}{113}$ (7 верных цифр) --- чемпионы. Или у Вас есть другие кандидатуры?

[venco]

VPro в сообщении #312351 писал(а):

venco в сообщении #312285 писал(а):

Я бы оценивал "замечательность" приближения сравнением количества правильных цифр, которое даёт приближение, и суммы количества цифр и операций в записи формулы приближения.
В этом смысле ни $355\over113$, ни то, что вы привели, увы, не "замечательны".

В таком случае $\frac{22}{7}$ (3 верных цифры), $\frac{355}{113}$ (7 верных цифр) --- чемпионы. Или у Вас есть другие кандидатуры?

Ну да, они весьма хороши, но по информационной ёмкости ничем не выдаются. 7 знаков на входе, 7 знаков на выходе.

[VPro]

venco в сообщении #312434 писал(а):

Ну да, они весьма хороши, но по информационной ёмкости ничем не выдаются. 7 знаков на входе, 7 знаков на выходе.

Вы очень верно заметили, что сравнивать нужно по "количеству цифр и операций" для получения результата. Но тогда запись "3,141592" нужно понимать, как
$3+\frac{1}{10}+\frac{4}{100}+\frac{1}{1000}+\frac{5}{10000}+\frac{9}{100000}+\frac{2}{1000000}$. Ведь десятичная запись чисел --- это условное соглашение о том, как мы это число можем вычислить.

И эта запись существенно проигрывает записи $\frac{355}{113}$ при той же эффективности.

[worm2]

VPro писал(а):

Вы очень верно заметили, что сравнивать нужно по "количеству цифр и операций" для получения результата. Но тогда запись "3,141592" нужно понимать, как .... Ведь десятичная запись чисел --- это условное соглашение о том, как мы это число можем вычислить.

Да, строго говоря, десятичная форма записи должна учитываться. Но ведь натуральные дроби --- это тоже какое-то условное соглашение, тем более, что их числитель и знаменатель тоже должны быть записаны в какой-то системе
Так что нужно сравнивать как-то так: $3.141592_{10}$ и $\left.\frac{355}{113}\right|_{10}$. Всё же у последней маленькое преимущество есть, признаю.

[VPro]

Согласен. Добавлю только, что дробь $\frac{355}{113}$ она и в римских цифрах и в шумерской клинописи будет осмысленна и понятна.

[Профессор Снэйп]

venco в сообщении #312285 писал(а):

Я бы оценивал "замечательность" приближения сравнением количества правильных цифр, которое даёт приближение...

Не самый лучший метод.

Пусть, например, $\pi = 0.5001$. Тогда приближение $\pi \approx 0.4999$ на две цифры хуже, чем приближение $\pi \approx 0.5991$

[serega57]

Venco в сообщении #312434 писал(а):
Ну да, они весьма хороши, но по информационной ёмкости ничем не выдаются. 7 знаков на входе, 7 знаков на выходе.УВАЖАЕМЫЙ venco а не могли бы вы показать хотя бы один алгоритм для пи который превосходит 355/113

[В.О.]

venco в сообщении #312285 писал(а):

Я бы оценивал "замечательность" приближения сравнением количества правильных цифр, которое даёт приближение, и суммы количества цифр и операций в записи формулы приближения.

По идее, правильная постановка вопроса должна звучать так: при заданной Колмогоровской сложности записи числа найти наилучшее приближение ПИ.

[arseniiv]

VPro в сообщении #312441 писал(а):

Но тогда запись "3,141592" нужно понимать, как
$3+\frac{1}{10}+\frac{4}{100}+\frac{1}{1000}+\frac{5}{10000}+\frac{9}{100000}+\frac{2}{1000000}$. Ведь десятичная запись чисел --- это условное соглашение о том, как мы это число можем вычислить.

И эта запись существенно проигрывает записи $\frac{355}{113}$ при той же эффективности.

А вот эта: $\frac{3141593}{1000000}$ — не так существенно!

[caxap]

(Цепные дроби?)

In[14]:= Table[{x=FromContinuedFraction[ContinuedFraction[Pi,k]],x-Pi-0.},{k,1,13}] //TableForm
Out[14]//TableForm= 3          -0.141593
                    22
                    --
                    7          0.00126449

                    333
                    ---
                    106        -0.0000832196

                    355
                    ---                  -7
                    113        2.66764 10

                    103993
                    ------                -10
                    33102      -5.77891 10

                    104348
                    ------               -10
                    33215      3.31628 10

                    208341
                    ------                -10
                    66317      -1.22356 10

                    312689
                    ------               -11
                    99532      2.91434 10

                    833719
                    ------                -12
                    265381     -8.71525 10

                    1146408
                    -------              -12
                    364913     1.61071 10

                    4272943
                    -------               -13
                    1360120    -4.04121 10

                    5419351
                    -------              -14
                    1725033    2.22045 10

                    80143857
                    --------              -16
                    25510582   -4.44089 10

Хотя почти везде нет преимущества с десятичной записью.

[serega57]

Да очень интересно когда считаешь на калькуляторе вроде все просто . С ручкой и листком бумаги не очень А ЧТО МОЖНО СКАЗАТЬ об эффективности когда цифры совсем отсутствуют. Если при помощи циркуля и линейки В течении минуты чертят два отрезка соотношение МЕЖДУ КОТОРЫМИ 3,1415926. И ещё при таких решениях время уходит меньше чем требуется для проверки в независимости от алгоритма проверки.