Ненулевые слагаемые

[myra_panama]

Сколько ненулевых слагаемых стоит в правой части формулы бинома Ньютона
$(a+b)^{2009}=a^{2009}+...+b^{2009}$
над полем вычетов по модулю два?

[Руст]

Ваш вопрос является частным случаем вопроса сколько биномиальных коэффициетов
$\binom{n}{0},\binom{n}{1},...\binom{n}{n}$ делится на заданное простое число p.
Ответ легко получается из того, что $v_p(\binom{n}{k})$ равен числу переносов при сложении в p - ичной системе исчисления чисел $k$ и $n-k$.
В вашем случае $2009=2^{11}-39=11111011001_2$ число из 8 единиц. Соответственно переносов нет, если все ненулевые цифры $k$ находятся под единичками. Т.е. таких k равно $2^8=64.$

[myra_panama]

ну заметим , что
$2009=2^{10}+2^9+2^8+2^7+2^6+2^4+2^3+2^1$
и квадрат суммы равен сумме квадратов, поэтому
$(a+b)^{2009}=(a^{1024}+b^{1024})(a^{512}+b^{512})(a^{256}+b^{256})(a^{128}+b^{128})(a^{64}+b^{64})(a^{16}+b^{16})(a^{8}+b^{8})(a+b)$
и ответь : $2^8=256$