Об одном ДУ

[abs_math]

$ \frac 1 2 (f''(\theta)+\frac {f'(\theta)} {\ tg \theta}) +3f(\theta)+\frac {f^2(\theta) \rho} {\mu r}=Const$
Можно ли найти аналитическое решение ДУ?

[Gortaur]

На каком промежутке? У вас тангенс может то в ноль уходить, то в бесконечность если на прямой решать.

[abs_math]

Извините, возможно за глупый вопрос, а для ДУ $w''(x)+\frac {w'(x)} {\tg x}+6w(x)=0$, тоже нужно указать промежуток?,для этого ДУ, аналитическое решение было таким что $x\neq \pi n$в решении есть выражения \ln(1+\cos x) и \ln(1-\cos x), который не имеет смысла при$x= \pi n$, не было обходимости в указании промежутка.

[Gortaur]

Что такое обходимость? И вообще, к сожалению я ничего не понял из того, что Вы написали.

[abs_math]

Все что я хотел спросить, можно ли найти аналитическое решение дифф. ур. $\frac 1 2 \left(f''(\theta)+\frac{f'(\theta)}{\tg\theta}\right)+3f(\theta)+\frac {f^2(\theta)\rho}{\mu r}=Const$?

для всех \theta\neq\pi n$.

[paha]

abs_math в сообщении #405122 писал(а):

Все что я хотел спросить, можно ли найти аналитическое решение дифф. ур. $\frac 1 2 \left(f''(\theta)+\frac{f'(\theta)}{\tg\theta}\right)+3f(\theta)+\frac {f^2(\theta)\rho}{\mu r}=Const$?

для всех \theta\neq\pi n$.

у этого уравнения точно есть постоянное решение (вообще говоря, комплексное)

[abs_math]

paha в сообщении #405141 писал(а):

у этого уравнения точно есть постоянное решение (вообще говоря, комплексное)

Можно ли подробнее, как анализировали (какой тип дифф. ур., как узнали что дифф. ур. имеет решение) дифф.ур.

[Gortaur]

Узнали так - если взять константу, то производные занулятся и больше ничего не зависит от теты. То есть можно найти решение.

-- Пт янв 28, 2011 17:25:24 --

Тип - второго порядка, неоднородное, переменные коэффициенты.

[paha]

Gortaur в сообщении #405881 писал(а):

Тип - второго порядка, неоднородное, переменные коэффициенты.

самое главное Вы забыли: оно нелинейное

-- Пт янв 28, 2011 16:44:46 --

Если параметр $\frac{\mu r}{\rho}$ велик по сравнению с искомой функцией, то можно раскладывать решение в ряд по $\lambda=\frac{\rho}{\mu r}$:

$$ f(\theta)=\frac{C}{6}+f_0(\theta)+\lambda f_1(\theta)+\lambda^2 f_2(\theta)+\ldots $$

где $C$ -- правая часть исходного уравнения, а

$$ f_0(\theta)=C_1 (3 \cos^2\theta-1)+C_2 \left(3\cos{\theta}+\frac{1}{4}(3 \cos(2\theta)+1) \ln\tg^2\frac{\theta}{2}\right) $$

решение уравнения

$$ f''(\theta)+\frac {f'(\theta)} {\tg \theta} +6f(\theta)=0 $$

[abs_math]

Функция

$$ f_0(\theta)=C_1 (3 \cos^2\theta-1)+C_2 \left(3\cos{\theta}+\frac{1}{4}(3 \cos(2\theta)+1) \ln\tg^2\frac{\theta}{2}\right) $$

есть решение урвнения

$$ f''(\theta)+\frac {f'(\theta)} {\tg \theta} +6f(\theta)=0 ? $$

. Или это нулевой член ряда.Решением уравнения оно быть не может, можно проверить подстановкой. Нелинейное-означает ли, что единственное решение исходного уравнения не может быть выражено через элементарные функции.

[paha]

abs_math в сообщении #405993 писал(а):

Решением уравнения оно быть не может

я, по-моему, ясно написал что решением чего является.

abs_math в сообщении #405993 писал(а):

Нелинейное-означает ли, что единственное решение исходного уравнения не может быть выражено через элементарные функции.

вообще говоря, не означает

[abs_math]

Всем большое спасибо! За полезную информацию. Если есть, что добавить (об исходном уравнений) буду очень благодарен. Исходное уравнение было получено при решении задачи из области механики жидкости и газа.