Как найти предел?

[Andrey173]

На меня это производит огромное впечатление)

[Руст]

Предел равен нулю при любом стремлении $\epsilon_n$ к нулю.

[caxap]

Руст
Но при $\epsilon(n)\equiv 0$ предел явно $=-1$.

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #404497 писал(а):

Очень похоже на задачу на экзамене по матану. Попробую своим студентам предложить (на днях как раз пересдача ).

(В таком случае, предложите ещё одну.
Напишу Вам в личку, а то кто-нибудь из Ваших студентов увидит.)

[Хорхе]

(Оффтоп)

Xenia1996, оффтоп оформляется так. Правильно:

[off="заголовок оффтопа"]содержимое оффтопа[/off]

Неправильно:

[off="содержимое оффтопа"][/off]

[Xenia1996]

Хорхе в сообщении #404539 писал(а):

(Оффтоп)

Xenia1996, оффтоп оформляется так:

[off="заголовок оффтопа"]содержимое оффтопа[/off], 
а не так:
[off="содержимое оффтопа"][/off]

Ой, Вы это всерьёз?

[Хорхе]

(Оффтоп)

Xenia1996 в сообщении #404540 писал(а):

Ой, Вы это всерьёз?

Просто такой облом: кликаешь по "заголовку" - а там ни-че-го!

[Руст]

caxap в сообщении #404524 писал(а):

Руст
Но при $\epsilon(n)\equiv 0$ предел явно $=-1$.

Я рассматривал только положительные.

[caxap]

(Оффтоп)

Xenia1996
Откройте для себя тег size

[Xenia1996]

Хорхе в сообщении #404543 писал(а):

(Оффтоп)

Xenia1996 в сообщении #404540 писал(а):

Ой, Вы это всерьёз?

Просто такой облом: кликаешь по "заголовку" - а там ни-че-го!

(Оффтоп)

Так и быть, облом я Вам компенсирую:

http://www.google.com/imgres?imgurl=htt ... CBkQ9QEwAQ

[caxap]

Руст в сообщении #404544 писал(а):

Я рассматривал только положительные.

А можете написать, как вы решали?

-- 25 янв 2011, 21:56 --

У меня при $\epsilon_n=\dfrac 1n$ тоже получается $-1$.

[Руст]

Я поторопился с нулем. Поэтому приведу полное решение. Пусть $x_n=n\epsilon_n$.
Тогда $S_n=-\ln n+\frac 1n\sum_{k=1}^n \ln (k+x_n)$.
$a=k+x_n, \int_{a-1/2}^{a+1/2}\ln x dx=ln(a)+y_k, y_k=\int_{1-1/2a}^{1+1/2a}ln(x)dx$.
Сумма $y_k$ ограничена и с множителем 1/n всегда стремится к нулю.
Поэтому
$S_n=-\ln n +[(n+0.5+x_n)(\ln(n+0.5+x_n)-1)-(x_n+0.5)(\ln(x_n+0.5)-1)]/n=$$ $$=-1+\ln\frac{n+0.5+x_n}{n}+\frac{x_n+0.5}{n}\ln \frac{n+x_n+0.5}{x_n+0.5}=$$ $$=-1+\ln(1+\epsilon_n+\frac{0.5}{n})+(\epsilon_n+\frac{0.5}{n})\ln\frac{1+\epsilon_n+0.5/n}{\epsilon_n+0.5/n}\to -1.$$
Два последнич члена при любом стремлении в пределе дает 0.

[ewert]

Xenia1996 в сообщении #404451 писал(а):

$\[ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum\limits^{n}_{k=1}\ln\left(\frac{k}{n}+\epsilon_{n}\right) \]$

$\int\limits_{\varepsilon_n}^{1+\varepsilon_n}\ln x\,dx\leqslant\frac{1}{n}\sum\limits^{n}_{k=1}\ln\left(\frac{k}{n}+\varepsilon_{n}\right)\leqslant\int\limits_{\varepsilon_n+\frac{1}{n}}^{1+\varepsilon_n+\frac{1}{n}}\ln x\,dx$

(из-за монотонности логарифма). Этого достаточно при $\varepsilon_n\geqslant0$ -- интегралы справа и слева очевидным образом стремятся к $(-1)$. Если же неотрицательности нет, то предел не определён, т.к. слагаемое $\frac{1}{n}\ln\left(\frac{1}{n}+\varepsilon_n\right)$ может вести себя как угодно, а всё остальное снова стремится к минус единице, ибо

$\int\limits_{\varepsilon_n+\frac{1}{n}}^{1+\varepsilon_n}\ln x\,dx\leqslant\frac{1}{n}\sum\limits^{n}_{k=2}\ln\left(\frac{k}{n}+\varepsilon_{n}\right)\leqslant\int\limits_{\varepsilon_n+\frac{2}{n}}^{1+\varepsilon_n+\frac{1}{n}}\ln x\,dx$

[Руст]

ewert в сообщении #404764 писал(а):

Если же неотрицательности нет, то предел не определён, т.к. слагаемое $\frac{1}{n}\ln\left(\frac{1}{n}+\varepsilon_n\right)$ может вести себя как угодно, а всё остальное снова стремится к минус единице, ибо

Если $\epsilon_n\le \frac{-1}{n}$ выражение не определено.
В принципе отрицательные значения допустимы. Однако для существования предела необходимо некоторое расстояние в положительную сторону от упомянутой границы, например достаточно $n\epsilon_n>-c,0<c<1$.

[ewert]

Руст в сообщении #404936 писал(а):

Однако для существования предела необходимо некоторое расстояние в положительную сторону от упомянутой границы

Конечно, но это уже занудство. Поэтому оговорка $\varepsilon_n\geqslant0$ выглядит вполне разумной.