Потенциал электростатического поля

[100%straightguy]

Помогите пожалуйста решить задачу:

Найти с помощью принципа суперпозиции потенциал $\phi$ электростатического поля на краю тонкого равномерно заряженного диска. Радиус диска $R = 20,0$ см, а поверхностная плотность заряда $\sigma = 0,25 $ мКл/м$^2$.

Знаю что $dQ =\sigma dS$ , $\phi = \int{\frac{dQ}{4 \pi E_0 r}}$, не могу понять, что брать в качестве переменной величины, какие брать пределы интегрирования и как к ним перейти

[BISHA]

100%straightguy в сообщении #404340 писал(а):

Найти с помощью принципа суперпозиции потенциал $\phi$ электростатического поля на краю тонкого равномерно заряженного диска.

Вашу формулу для потенциала нужно увеличить в два раза, диск заряжен с двух сторон. Разделите диск на полоски, геометрически определите их площадь, определитесь с пределами интегрирования.

[Munin]

BISHA в сообщении #404529 писал(а):

Вашу формулу для потенциала нужно увеличить в два раза, диск заряжен с двух сторон.

Не нужно.

[Bulinator]

100%straightguy
Систему координат выберите полярную с центром в точке, в которой нужно посчитать потенциал. Нарисуйте рисунок. С помощью несложных геометрических соображений найдите пределы интегрирования.

[100%straightguy]

разделил диск на секторы, ограниченные дугами с центром в точке и радиусами r, получилось
длина дуги сектора - $2\alpha r$, ширина сектора - $dr$,
$dS = 2\alpha r dr$,
$r = 2 R \cos\alpha$,
$dr = -2 R \sin\alpha d\alpha$

$\phi = -\frac{\sigma R} {\pi \varepsilon_0} \int\limits_0^\pi \alpha \sin\alpha d\alpha$
Смотрел примеры решения аналогичных задач, там почему-то пределы интегрирования стоят от $\frac \pi 2$ до 0, как все-таки правильно и почему?

[Bulinator]

100%straightguy
Пусть прямая $\varphi=0$ проходит через центр круга. Найдите длину хорды $\phi=const$․

[ewert]

Если круг сверху от начала координат (и симметричен относительно вертикальной оси), то уравнением окружности в полярных координатах будет $r=2R\,\sin\varphi$, и при обходе окружности угол $\varphi$ будет изменяться от $0$ до $\pi$. Больше никаких геометрических соображений не нужно, а надо просто стандартно расставить пределы в полярных координатах:

$\dfrac{\sigma}{4\pi\varepsilon_0}\iint\dfrac{1}{r}\,dS=\dfrac{\sigma}{4\pi\varepsilon_0}\int\limits_0^{\pi}d\varphi\int\limits_0^{2R\sin\varphi}r\,dr\cdot\dfrac{1}{r}$

[100%straightguy]

хорда = $2 R \sin \phi$

[Bulinator]

А вон ewert написал решение. Вы его понимаете?

[100%straightguy]

у нас на первом курсе двойные интегралы не проходят.
как вычислить его я понял, и с ответом из учебника сходится, но думаю преподаватель не одобрит, если я такое решение ему покажу

[Bulinator]

100%straightguy в сообщении #404854 писал(а):

но думаю преподаватель не одобрит, если я такое решение ему покажу

Это уже вина преподователя а не Ваша.