Ковариация стохастических дифференциалов

[IE]

В одной статье наткнулся на кажущуюся мне странной запись:

$$Cov(dX,dJ)=J_tX_t(1-D(\tau)).$$

Здесь $X_t$ -- процесс Орнштейна-Уленбека, т.е. $dX_t=-X_t\,dt+ dB_t$. $J_t$ -- случайный процесс с коэффициентом диффузии $J_tX_t(1-D(\tau))$. Я привык считать, что все выражения в дифференциалах являются упрощенной формой записи соответствующих интегральных выражений, поэтому мне очень странно видеть стохастические дифференциалы под знаком ковариации, более того, в приведенном выше равенстве справа стоит случайная величина. Как понимать эту запись?

[Gortaur]

В конце по-моему должно стоять еще $dt$. И вообще, для такого обычно использую просто символическую запись $dX_t \cdot dJ_t$. Можете сказать, где Вы это нашли?

[IE]

Нашел здесь. Даже если приписать $dt$, то мне не очень понятно что означает ковариация дифференциалов. Вот определение ковариации случайных величин я знаю, а дифференциалов -- нет.

[Gortaur]

Видимо здесь используется квадратическая коварация, но вот дифференциал по времени они упустили.

[IE]

Получается, что это таким образом записана квадратическая ковариация двух семимартингалов? Странно, обычно для этого используются квадратные скобки.

[Gortaur]

Или угловые - у кого как. Если Вы присмотритесь, то поймете, что там идет ее производная по времени, а не сама она и нее дифференциал. К тому же чего Вы хотите от финансовой математики? Заработать миллион - пожалуйста, расскажут. Квадратные скобки - это уже к Ширяеву.

[IE]

Gortaur, спасибо. Действительно, это должен быть интеграл, так как $\langle W,W\rangle_t=dt$, а $\langle I^W(X),I^W(Y)\rangle_t=\int\limits_0^t X_uY_u\,d\langle W,W\rangle_u$.

[Хорхе]

Это глупости, конечно, что там написано. Ковариация -- это число, в ней нет случайности. Вы правы, имелась в виду квадратическая ковариация семимартингалов, она именно такая.