Существуют ли иррациональные и действительные числа?

[Андрей АK]

Maslov в сообщении #404360 писал(а):

Андрей АK в сообщении #404313 писал(а):

Как определяются ,например, действительные числа?

Они определяются как ... числа не являющиеся рациональными!
Т.е. через отрицание.

Хотите сказать, 0 не является действительным числом?
А иррациональные тогда как определяются?

Я оговорился, я имел ввиду - иррациональные (определены как не являющиеся рациональными).

Maslov в сообщении #404360 писал(а):

Возьмите учебник по мат. анализу и посмотрите, как вводятся действительные числа.
Например, как дедекиндовы сечения или как множество классов эквивалентности на множестве последовательностей Коши в $\mathbb Q$.

Ну и что такое действительные числа?
Можете сказать своими словами, без ссылок на внешние источники?

[Maslov]

Андрей АK в сообщении #404365 писал(а):

Ну и что такое действительные числа?
Можете сказать своими словами, без ссылок на внешние источники?

Я уже сказал: можно определять как дедекиндовы сечения, можно -- как множество классов эквивалентности на множестве последовательностей Коши в $\mathbb Q$, можно, наверное, ещё как-нибудь.
А переписывать в форум учебники особого смысла не вижу.

[migmit]

Моё любимое определение - через "почти гомоморфизмы", т.е., функции $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$, такие, что функция $df(x,y)=f(x+y)-f(x)-f(y)$ ограничена. Факторизуем группу таких функций (относительно поточечного сложения) по подгруппе ограниченных функций - получаем $\mathbb{R}$ по сложению; умножение получается из композиции.

[Maslov]

(Оффтоп)

migmit в сообщении #404376 писал(а):

Моё любимое определение - через "почти гомоморфизмы"

Спасибо, почитал.
Отсюда http://avva.livejournal.com/1209755.html:

Цитата:

Мне доводилось вести упражнения за профессором, вводившим вещественные числа этим способом. Врагу не пожелаю.
...
Получилось так, что он весь первый семестр вводил вещественные числа, а второй начал сразу с дифференциальных форм.

[DiviSer]

Андрей АK в сообщении #404313 писал(а):

Они определяются как ... числа не являющиеся рациональными!

множество действительных чисел принято считать несчетным, а множесвто рациональных чисел так же как и множество алгебраических чисел счетно отсюда и следует сущ-ние иррациональных или трансцендентных чисел.

Я не совсем понимаю идею автора, вы хотите доказать что континуум гипотеза неверена или что?

[Андрей АK]

Maslov в сообщении #404371 писал(а):

Я уже сказал: можно определять как дедекиндовы сечения, можно -- как множество классов эквивалентности на множестве последовательностей Коши в $\mathbb Q$, можно, наверное, ещё как-нибудь.
А переписывать в форум учебники особого смысла не вижу.

Ну ладно, тогда скажу так:
То что определяется как действительные числа - под это определение подходят ... рациональные числа.
Но нигде ,в определении, не сказано, что действительные числа должны задаваться бесконечным числом знаков.
Затем, вводится понятие иррациональных чисел (через отрицание) и вывод (непонятно с какой стати) - что действительные числа есть сумма рациональных и иррациональных.
Т.е. неявно, действительные числа определены через отрицание (посредством некорректного определения иррациональных чисел).

А на самом деле рациональные числа можно назвать - способом позиционирования точек на прямой.
И ,поскольку, с помощью рациональных чисел ,с помощью бесконечных рядов, можно позиционировать любую точку (с любой достаточной точностью).
То система рациональных чисел - есть самодостаточная система позиционирования на прямой линии.
Кроме рациональной системы позиционирования может существовать бесконечное множество других (например алгебраическая) , очевидно что разные системы позиционирования не могут быть совместны - поскольку в основе каждой из них лежит какой-то алгоритм.

Т.е. нет никаких иррациональных чисел, а есть некое свойство алгоритмов - что то вроде "невозможности создания абсолютного алгоритма" или что то в этом роде.

Мы можем вводить бесконечно число всевозможных систем позиционирования, для перехода из одной в другую могут потребоваться бесконечные ряды...
Но это все свойство не чисел, а алгоритмов систем счисления применяемых для записи этих чисел.

[venco]

DiviSer в сообщении #404387 писал(а):

Я не совсем понимаю идею автора, вы хотите доказать что континуум гипотеза неверена или что?

Автор просто не знает определений, пытается придумать свои, но это у него плохо получается.
И я сомневаюсь, что автор понимает, что такое "континуум гипотеза".

-- Вт янв 25, 2011 10:09:22 --

Андрей АK в сообщении #404393 писал(а):

Ну ладно, тогда скажу так:
То что определяется как действительные числа - под это определение подходят ... рациональные числа.

Надо же, угадали!

Андрей АK в сообщении #404393 писал(а):

Но нигде ,в определении, не сказано, что действительные числа должны задаваться бесконечным числом знаков.

Опять угадали, в определении вообще не говорится о бесконечности представления действительных чисел.

Андрей АK в сообщении #404393 писал(а):

Затем, вводится понятие иррациональных чисел (через отрицание) и вывод (непонятно с какой стати) - что действительные числа есть сумма рациональных и иррациональных.

Дык, если иррационалные - это действительные за исключением рациональных, то действительные - это объединение рациональных и иррациональных. Тривиальные операции с множествами.

Андрей АK в сообщении #404393 писал(а):

Т.е. неявно, действительные числа определены через отрицание (посредством некорректного определения иррациональных чисел).

Враньё.

Андрей АK, Вы собираетесь отвечать на это:

venco в сообщении #404359 писал(а):

Так покажите ту рациональную точку, соответствующую, по Вашему мнению, действительному числу $\sqrt 2$. Просто напишите это число как отношение двух целых чисел.

[Андрей АK]

venco в сообщении #404395 писал(а):

Андрей АK, Вы на собираетесь отвечать на это:

venco в сообщении #404359 писал(а):

Так покажите ту рациональную точку, соответствующую, по Вашему мнению, действительному числу $\sqrt 2$. Просто напишите это число как отношение двух целых чисел.

Я уже ответил на это.
Не существует записи корня из двух, как отношение двух целых чисел, но существует бесконечный ряд, каждый член которого есть отношение двух целых чисел - этот ряд и можно отождествить с числом корень из двух.
То что корень из двух нельзя записать конкретным рациональным числом - не проблема чисел, а проблема алгоритмов, которые используются для их записи.

Вернее даже проблема алгоритмических языков.

Типа того:
"Существует бесконечное количество несовместных языков, т.е. алгоритм записанный на одном языке при помощью конечного набора символов, не может быть никаким образом записан на другом языке ,при помощи конечного набора символов."
И главное:
"Не существует абсолютного языка, с помощью которого можно любой алгоритм (написанный на любом другом языке) записать при помощи конечного набора символов".

Т.е. у нас есть один алгоритм (язык) для записи координат на отрезке - это ,например, рациональные числа.
Мы можем придумать другой алгоритм (язык) для записи точно тех же самых координат на отрезке (это алгебраические числа).

Но для того чтоб перевести записанные на одном языке числа в записи на другом - нам понадобятся бесконечные ряды.

Т.е. простого способа (без рядов) перевода из одной системы счисления в другую - не существует.

Чтоб корректно определить действительные числа (как их сейчас понимают) необходимо указать алгоритм их записи - но такого существовать не может!
А значит и действительных чисел не существует.

[Xaositect]

Андрей АK в сообщении #404393 писал(а):

То что определяется как действительные числа - под это определение подходят ... рациональные числа.

Вот это не врите. Множество действительных числа - это максимальное архимедово упорядоченное поле, а рациональных - минимальное.

-- Вт янв 25, 2011 18:25:25 --

Андрей АK в сообщении #404402 писал(а):

Я уже ответил на это.
Не существует записи корня из двух, как отношение двух целых чисел, но существует бесконечный ряд, каждый член которого есть отношение двух целых чисел.
То что корень из двух нельзя записать конкретным рациональным числом - не проблема чисел, а проблема алгоритмов, которые используются для их записи.

Вы ясно скажите, $\sqrt 2$ рациональное число по Вашему мнению или нет?

[venco]

Андрей АK в сообщении #404402 писал(а):

venco в сообщении #404395 писал(а):

Андрей АK, Вы на собираетесь отвечать на это:

venco в сообщении #404359 писал(а):

Так покажите ту рациональную точку, соответствующую, по Вашему мнению, действительному числу $\sqrt 2$. Просто напишите это число как отношение двух целых чисел.

Я уже ответил на это.
Не существует записи корня из двух, как отношение двух целых чисел

Т.е. Вы согласились с тем, что $\sqrt 2$ не является рациональным числом.
С другой стороны $\sqrt 2$ можно сравнивать с рациональными числами и для любого из них узнать, больше оно или меньше.
Более того, для $\sqrt 2$ можно определить арифметические операции с рациональными числами, так что результат тоже можно сравнивать с рациональными числами.
Т.е. формально $\sqrt 2$ можно считать числом, хоть оно и не является рациональным числом. Таким образом мы получили один экземпляр множества действительных чисел в добавок к уже знакомым рациональным. Такие числа назвали иррациональными.
Вам удалось проследить за ходом мысли?

-- Вт янв 25, 2011 10:32:38 --

Xaositect в сообщении #404404 писал(а):

Андрей АK в сообщении #404393 писал(а):

То что определяется как действительные числа - под это определение подходят ... рациональные числа.

Вот это не врите. Множество действительных числа - это максимальное архимедово упорядоченное поле, а рациональных - минимальное.

Ну почему же. Любое рациональное число является и действительным тоже. Я не удивлюсь, если Андрей АK и этого не знает.

[Xaositect]

venco в сообщении #404405 писал(а):

Ну почему же. Любое рациональное число является и действительным тоже. Я не удивлюсь, что Андрей АK и этого не знает.

А, ну если так читать, то да.

[DiviSer]

venco в сообщении #404395 писал(а):

Автор просто не знает определений, пытается придумать свои, но это у него плохо получается.И я сомневаюсь, что автор понимает, что такое "континуум гипотеза".

да уж, плохо тогда.(((

Андрей АK в сообщении #404402 писал(а):

Типа того:"Существует бесконечное количество несовместных языков, т.е. алгоритм записанный на одном языке при помощью конечного набора символов, не может быть никаким образом записан на другом языке ,при помощи конечного набора символов."И главное:"Не существует абсолютного языка, с помощью которого можно любой алгоритм (написанный на любом другом языке) записать при помощи конечного набора символов".

под словом алогритм подразумевается что он конечен в своем описании и его можно реализовать на машине тьюринга.

[Maslov]

DiviSer в сообщении #404410 писал(а):

под словом алогритм подразумевается что он конечен в своем описании и его можно реализовать на машине тьюринга

У ТС на эту тему совсем другое мнение:

Андрей АK в сообщении #265231 писал(а):

Алгоритм - это инструкция к действию, записанная в кодах некоторого языка.
"бесконечный алгоритм" - это такой алгоритм, для записи которого потребуется бесконечное количество символов.
Пимер: любое иррациональное число.

[Андрей АK]

venco в сообщении #404405 писал(а):

Т.е. Вы согласились с тем, что $\sqrt 2$ не является рациональным числом.
С другой стороны $\sqrt 2$ можно сравнивать с рациональными числами и для любого из них узнать, больше оно или меньше.
Более того для $\sqrt 2$ можно определить арифметические операции с рациональными числами, так что результат тоже можно сравнивать с рациональными числами.
Т.е. формально $\sqrt 2$ можно считать числом, хоть оно и не является рациональным числом. Таким образом мы получили один экземпляр множества действительных чисел в добавок к уже знакомым рациональным. Такие числа назвали иррациональными.
Вам удалось проследить за ходом мысли?

Корень из двух число.
Но то что вы записали ($\sqrt 2$) - лишь запись в одной из систем отсчета - это только форма записи - т.е. алгоритм и ничего больше.
С другой стороны для записи того же числа я могу использовать бесконечные ряды рациональных чисел - складывать их сравнивать и т.д. - все что вы хотели бы с ними сделать.
Это будет другая форма записи того же числа.

Поэтому, когда говорят, что $\sqrt 2$ не является рациональным - это можно только перевести так, что для его записи придется применять ряды - только и всего.

Таким образом, для позиционирования ЛЮБОЙ ТОЧКИ на прямой достаточно множества рациональных чисел и рядов из из этих чисел, заданных каким либо алгоритмом.

Тут конечно можно сказать, что поскольку количество членов этих рядов бесконечно, то мощность точек, задаваемых подобным образом - несчетно.
Но нет - каждый из этих рядов задается каким-то конечным алгоритмом!
(Т.е. у нас используется не произвольные ряды, а только заданные конечными алгоритмами)
А множество точек ,заданных подобным образом - счетно.

Итак, количество точек ,что мы сможем позиционировать, на прямой - счетно.
В это множество входит и корень из двух и число пи и все что мы только можем себе вообразить.
Но оно всегда останется счетным.
И где тогда ,спрашиваются, ваши иррациональные числа с их несчетностью?

Нет таких чисел.

Кто хочет этот тезис опровергнуть - приведите в пример такое число (которое нельзя было бы задать бесконечным рядом рациональных чисел).

[DiviSer]

Maslov в сообщении #404416 писал(а):

У ТС на эту тему совсем другое мнение: Андрей АK в сообщении #265231 писал(а):Алгоритм - это инструкция к действию, записанная в кодах некоторого языка."бесконечный алгоритм" - это такой алгоритм, для записи которого потребуется бесконечное количество символов.Пимер: любое иррациональное число.

значит вот какое определение придумывает автор. "бесконечный алгоритм")))). тут скажу только одно: такое "нововведение" не поможет науке будь то теория множеств или теория алгоритмов ни своим методологическим смыслом ни практичексим в виде хотя бы доказательств теорем.