Функциональное уравнение

[myra_panama]

Найти все определенные на(0,+$\infty$) дважды дифференцируемые функции f(x) такие , что $f'(x)>0$ и
$f(f'(x))=-f(x)$
Нетрудная задачка но хотель бы смотреть ваши решение

[VoloCh]

$\ln x$

[myra_panama]

Цитата:

$\ln x$

вы имеете ввиду ,что lnx решение уравнение ....... А вы можете поконкретнее написать

[Toucan]

myra_panama в сообщении #403836 писал(а):

А вы можете поконкретнее написать

Сначала Вы своё решение "поконкретнее" напишите. Сами же говорите, что

myra_panama в сообщении #403824 писал(а):

Нетрудная задачка

[myra_panama]

ну хорошо
Условия f'(x) дает возможность заменить x на $f'(x)$ в $f(f'(x))=-f(x)$ :
$f(f'(f'(x)))=-f(f'(x))=f(x)$
отсюда , в силу условия f '(x)>0 , имеем
$ f '(f '(x))=x$
Дифференцируя равенство $f(f'(x))=-f(x)$ получаем ,
$f'(f'(x))f''(x)=-f'(x) $ или $xf''(x)=-f'(x)$
z=f'(x) , $xz'(x)=z(x) $ отсюда получаем z=$\frac{c}x$ c>0
Итак, f'(x)=$\frac{c}x$ , $f(x)=cln(bx)$
если где нибудь ошибся подскажите

[mihiv]

Мне кажется $b=\frac 1{\sqrt c}$ (проверяется подстановкой решения в исходное уравнение).

[myra_panama]

$f(f'(x))=c\ln\frac{bc}{x}=-f(x)=c\ln{bx}$ отсюда получаем
$\frac{bc}{x}=\frac1{bx}$ да правильно $b=\frac1{\sqrt{c}}$

[VoloCh]

Поэтому ответ $f(x)=C(\ln x-0{,}5\ln C)$ при любом $C>0$.
Или даже так $f(x)=e^{2a}(\ln x-a)$.