Существуют ли иррациональные и действительные числа?

[Андрей АK]

Мне скажут - "Конечно! Действительные числа - это точки на отрезке".

Хорошо, а что надо чтоб задать точку на отрезке?
Для этого достаточно исключительно лишь множество рациональных чисел.
Т.е. любую точку можно задать рациональным числом, с произвольной, наперед заданной точностью.
Это значит, что множество рациональных чисел - это сущность ,подходящая на роль системы счисления для точек отрезка.
Подобная любой другой системе счисления для целых чисел.

В принципе, можно расширить какую ни будь стандартную систему счисления для целых чисел, запятой.
Но тогда возникнет проблема: Числа, записанные в одной ,расширенной системе счисления, конечным набором знаков, потребуют при переводе в другую систему счисления, бесконечного набора знаков (Например 1/3 в троичной и в двоичной системах счисления).

Т.е. разные системы счисления несовместны.

Но этот факт не вызывает у нас каких-то трудностей - таково видимо свойство этих систем счисления.

Теперь вернемся к рациональным числам.

Ведь там, точно также, существуют числа , требующие для своей записи бесконечного числа знаков.
Но ведь это - та же самая проблема перевода чисел из одной системы счисления в другую!
Т.е. нет никаких таких иррациональных и действительных чисел!
А есть две системы счисления: рациональных чисел и алгебраических чисел.
При переводе чисел из второй в первую, может потребоваться бесконечный набор знаков, но это ,опять же, всего лишь проблема перевода.

Рассмотрим предельный вариант:
"Алгоритмической системой счисления" (кому нравится:"алгоритмическими числами") назовем такие точки на отрезке, которые могут быть заданы любыми алгоритмами, при помощи конечного числа символов. (Алгоритмы подразумеваются также записанные конечными наборами символов).

Вопрос: счетная или несчетная мощность будет у алгоритмических чисел?
Поскольку, мощность всех алгоритмов (конечных) - счетно, использоваться в них будет счетное число символов, то и мощность алгоритмических чисел - тоже счетно!

А что же со всеми остальными числами?
Теми, которые нельзя задать ни каким известным или неизвестным способом?
Эти числа, потребуют для задания бесконечного набора символов (т.е. будут содержать бесконечный объем информации) - что есть бессмыслица.

Отсюда вывод - никаких других множеств чисел, мощнее алгоритмических чисел (т.е. мощнее чем счетных) - не существует.
Т.е. не существует ни иррациональных ни действительных чисел -это все фикция.
А существуют лишь множества чисел - систем счисления, самая эффективная из которых - рациональные числа (рациональная система счисления).
А алгебраические числа - это лишь альтернативная ,но не самая удобная, из всех возможных систем счисления - равная по мощности рациональным.

[venco]

Пурга.

[svv]

Андрей АK писал(а):

Отсюда вывод - никаких других множеств чисел, мощнее алгоритмических чисел (т.е. мощнее чем счетных) - не существует.
Т.е. не существует ни иррациональных ни действительных чисел -это все фикция.

Они существуют, но в высшем, метафизическом понимании. Алгоритмическое описание схватывает лишь их исчезающую тень...

Андрей АK писал(а):

Теми, которые нельзя задать ни каким известным или неизвестным способом?

Уточняйте -- алгоритмическим способом.

Андрей АK писал(а):

Эти числа, потребуют для задания бесконечного набора символов (т.е. будут содержать бесконечный объем информации) - что есть бессмыслица.

То есть конечной программы для последовательной генерации их разрядов не существует. Не более того.

Возьмите монетку и бросайте её каждый день. Завещайте это занятие Вашим потомкам. Вселенная вечна. Вы получите неалгоритмическую последовательность, существование которой Вы отрицаете.

[Dandan]

Задавать действительные числа алгоритмами можно по разному. И эти методы задавания не эквивалентны между собой.
Например, конструктивный анализ (КА) пробует рассматривать действительные числа, которые задаются алгоритмами определенным образом (приближениями). Однако, можно алгоритмически задать последовательность "алгоритмических" чисел (в смысле КА) такую, что их верхняя грань будет уже не алгоритмическим числом в смысле КА.
Вот такая верхняя грань, как по мне - определенное "существующее" действительное число, которое нельзя задать "приближениями". А метод задания "верхняя грань такого-то множества" - это уже получается новый метод задания действительного числа алгоритмом.

-- Вт янв 25, 2011 03:10:38 --

Андрей АK в сообщении #404100 писал(а):

Т.е. любую точку можно задать рациональным числом, с произвольной, наперед заданной точностью.

Ну вы ж сами говорите, что любую точку можно задать рациональным числом, но лишь с какой-то точностью. Нечто подобное и пытается четко формализовать КА.
Откуда вы заключаете, что ничего кроме рациональных чисел не существует совершенно не понятно, эт какая-то глупость. С таким же успехом можно сказать, что и рациональных не существует, а существуют только натуральные.

[Portnov]

Приедем в результате к вопросу о сущности универсалий. Например, вот такая штука, как «бытие». Оно существует? Бытие — это всё, что существует. И тем не менее, никакая в отдельности взятая вещь бытием не является — яблоко это яблоко, а не бытие.

В математике на эту тему есть две противоположные точки зрения — платонизм и формализм. По платонистам, все математические сущности существуют в каком-то отдельном «мире идей» (этот мир населён интегралами, рациональными и трансцендентными числами, логарифмами итп). А всякие значки, которые мы пишем в связи с этими понятиями — это в некотором роде тени, проецируемые из мира идей в наш мир. По формалистам, никакие математические сущности не существуют (т.е. не существует не то что иррациональных чисел, вообще никаких чисел не существует). Существуют только договорённости о том, какие рассуждения (последовательности значков на бумаге) можно считать правильными. И из этих правильных рассуждений можно сочинять всякие сложные конструкции типа иррациональных чисел или интегралов. Можно взять другие договорённости и получить какие-то совсем другие конструкции. Или не получать, если не хочется. Общепринятые конструкции лучше только тем, что имеют определённое практическое применение.

[migmit]

Есть ещё третья точка зрения, ИМХО, правильная. Что вопрос о существовании чисел вообще некорректен, так же, как некорректен вопрос о цвете симфонии или о громкости романа. То есть, в определённых случаях, аккуратно обозначив, что мы имеем в виду под соответствующими терминами, такой вопрос можно и задать и обсуждать (точно так же, как в математике имеет смысл говорить "существует число, такое, что..."), но в терминах, так сказать, общечеловеческих, эти вопросы бессмысленны.

[epros]

Андрей АK, Ваше второе имя, случайно, не Черный Евгений?

[Portnov]

(Оффтоп)

migmit
Вы не отрицаете, что вот эти значки на бумаге в виде циферок — 1,2,3… — существуют? это конкретные молекулы чернил, можно под микроскопом посмотреть… И, я думаю, вы не отрицаете, что некими договорённостями этим значкам сопоставлены какие-то там мысленные конструкции. Так что ваша точка зрения — это одна из разновидностей формализма.

[Ales]

Надо смелее:
1. рациональных чисел нет, например число $\frac 1 3$ нельзя представить десятичной записью и оно таким образом мало отличается от $\sqrt 2$.
2. натуральных чисел конечное число, ведь слишком большие числа нельзя записать на бумаге или в памяти компьютера.
3. все натуральные числа больше 4 - 6 не укладываются в голове, чтобы ими оперировать нужны символы и десятичная запись, реально числа это только некоторые строки из цифр.

Значит есть только несколько чисел: I, II, III, IIII. Числа IIIII и IIIIII уже под вопросом - числа ли это?

[migmit]

(Оффтоп)

Не отрицаю. Как не отрицаю и то, что нотная бумага имеет цвет, и что роман можно прочитать вслух с определённой громкостью.
И нет, это не одна из разновидностей формализма. Я не считаю, что число 2 - полностью высосанная математиками из пальца конструкция.
И кстати, почему мы в теге off?

[Андрей АK]

Dandan в сообщении #404126 писал(а):

Ну вы ж сами говорите, что любую точку можно задать рациональным числом, но лишь с какой-то точностью. Нечто подобное и пытается четко формализовать КА.
Откуда вы заключаете, что ничего кроме рациональных чисел не существует совершенно не понятно, эт какая-то глупость. С таким же успехом можно сказать, что и рациональных не существует, а существуют только натуральные.

Разъясняю подробно.
То, что какую-то точку можно задать с некоторой точностью - это издержки перевода из одной системы отсчета в другую.
Как число 1/3 при переводе в двоичную систему отсчета требует для задания бесконечной точности.
Но это не значит, что раз так, то нам придется вводить бесконечное число систем отсчета, чтоб каждую возможную дробь задавать в своей системе отсчета - поскольку в никаких других системах отсчета это число не может быть задано.
Нет, для задания 1/3 в двоичной системе отсчета мы можем воспользоваться бесконечным рядом приближений.
Вопрос тогда стоит так:
Число 1 и 0.(9) - это одно и то же число или нет?
Две эти записи - это как раз и есть иллюстрация ошибки перевода из одной системы отсчета в другую.
Если мы признаем, что 1 и 0.(9) - это одно и то же число, то можно заключить, что задание числа через бесконечный ряд и задание числа , через альтернативную систему отсчета - это два достаточно эквивалентных способа задания одного и того же числа.
А раз так, то система рациональных чисел достаточно плотно покрывает числовую прямую, для того чтоб с её помощью можно было указать любую точку на этой прямой.
А алгебраические числа,например, - это всего лишь альтернативная система отсчета.
И то, что невозможно перевести представление числа в одной системе отсчета в представление того же числа в другой системе отсчета означает только невозможность перевода и только, а вовсе не то что ,"между любыми двумя точками какой-то системы отсчета располагаются еще и точки другой системы отсчета".
Т.е. корень из двух - это не уникальная точка на прямой - а запись некой точки в алгебраической системе отсчета, эту запись можно перевести в рациональную систему отсчета, но только с некоторой точностью... но эта точка будет присутствовать и там, но задана она будет бесконечным рядом.

Т.е. мы имеем дело со ,всего лишь, несовместимостью разных алгоритмов задания координат на прямой.

[epros]

Андрей АK в сообщении #404267 писал(а):

для задания 1/3 в двоичной системе отсчета мы можем воспользоваться бесконечным рядом приближений

Приближение - не есть запись числа.

Андрей АK в сообщении #404267 писал(а):

Число 1 и 0.(9) - это одно и то же число или нет?

Вообще-то обычно считается одним и тем же.

Андрей АK в сообщении #404267 писал(а):

А раз так, то система рациональных чисел достаточно плотно покрывает числовую прямую, для того чтоб с её помощью можно было указать любую точку на этой прямой.

Попробуйте указать на точку $\sqrt{2}$.

[Андрей АK]

epros в сообщении #404308 писал(а):

Попробуйте указать на точку $\sqrt{2}$.

Эта точка указывается бесконечным рядом рациональных чисел.
(Отличие от бесконечного набора знаков здесь то, что существует алгоритм, позволяющий получить любой ,наперед заданный, член ряда).



Есть другой подход к вопросу.

Как определяются ,например, действительные числа?

Они определяются как ... числа не являющиеся рациональными!
Т.е. через отрицание.
Натуральные и рациональные (а также алгебраические) - можно определить напрямую - корректным способом.
А вот действительные и иррациональные числа определяются через отрицание.

А любые определения через отрицание ,как показал опыт определения "множества всех множеств" - есть некорректное определение.

Получается, что у действительных и иррациональных чисел нет корректного определения.
Так что же это такое тогда за сущность?
Без определения, без способа записи?
Фикция - она и есть фикция.

[venco]

Андрей АK в сообщении #404313 писал(а):

epros в сообщении #404308 писал(а):

Попробуйте указать на точку $\sqrt{2}$.

Эта точка указывается бесконечным рядом рациональных чисел.

Так покажите ту рациональную точку, соответствующую, по Вашему мнению, действительному числу $\sqrt 2$. Просто напишите это число как отношение двух целых чисел.

Андрей АK в сообщении #404313 писал(а):

Как определяются ,например, действительные числа?

Они определяются как ... числа не являющиеся рациональными!

Неправда.

Андрей АK в сообщении #404313 писал(а):

Получается, что у действительных и иррациональных чисел нет корректного определения.

Есть, и не одно.

Андрей АK в сообщении #404313 писал(а):

Так что же это такое тогда за сущность?

Так Вы учебники не читали, что ли?

Андрей АK в сообщении #404313 писал(а):

Без определения, без способа записи?

Т.е. Вы просите определить действительные числа без определения, я правильно понял?

[Maslov]

Андрей АK в сообщении #404313 писал(а):

Как определяются ,например, действительные числа?

Они определяются как ... числа не являющиеся рациональными!
Т.е. через отрицание.

Хотите сказать, 0 не является действительным числом?
А иррациональные тогда как определяются?

Возьмите учебник по мат. анализу и посмотрите, как вводятся действительные числа.
Например, как дедекиндовы сечения или как множество классов эквивалентности на множестве последовательностей Коши в $\mathbb Q$.