Первые интегралы, функции Ляпунова

[EWKLID]

В теории устойчивости движения функции Ляпунова находят обычно как связку первых интегралов.
Правда ли, что других функций Ляпунова и не существует?
Строго говоря, верно ли что для Гамильтоновых систем функция Ляпунова обязательно первый интеграл? Если да, то где об этом написано? А что касается неголономных систем?
Благодарю за ответ.

[cupuyc]

Почему обязательно первый интеграл? Можно, вообще говоря, взять совершенно любую функцию и потребовать, чтобы она удовлетворяла необходимым условиям. Грубо говоря, есть, например уравнение $x'=-x$. Я могу взять функцию $V(x) = x^2$ (действительно, интеграл движения), а могу $V(x) = x^4$ или $V(x) = \cos(x)$.

[EWKLID]

В вопросе фигурировали Гамильтоновы системы. То же относится и клюбым системам, сохраняющим объем в фазовом пространстве. Единственно нужно было добавить, что подразумеваются функции Ляпунова и Гамильтонианы не зависящие от времени. Ваш пример совсем уж не подходит. Где тут гамильтоновость?
И почему $x^2$- первый интеграл предложенного уравнения? Ну и дальше в том же духе. Я может, чего не понял?

[cupuyc]

Ваш вопрос был:

Цитата:

Правда ли, что других функций Ляпунова и не существует?

Объясняю. Функция Ляпунова - некоторая мера удалённости точки от начала координат фазового пространства. Такой мерой, например, может служить полная энергия системы. Может служить и более экзотическая функция. Полная энергия - лишь частный случай выбора функции Ляпунова. Например, уравнение движения физического маятника:
$\phi' = \omega$
$\omega' = - m g l / I \sin \phi$
Точка в фазовом пространстве задаётся 2 координатами $\phi$ и $\omega$.
Мерой удалённости точки от начала координат может служить функция $V(\phi, \omega) = \phi^2 + \alpha \omega^2$. А полную энергия системы можно записать как $E = mgl (1 - \cos \phi) + I \omega^2/2$. Вот Вам пример, когда функция Ляпунова, вообще говоря, не совпадает с Гамильтонианом. Просто для многих систем поиск функции Ляпунова - довольно трудная задача. В общем случае для произвольной системы никто не знает как её искать. Вот есть несколько стандартных методов. Один из них - брать в качестве функции Ляпунова Гамильтониан системы. Но этот метод не всегда приемлем.

(Оффтоп)

Парджеттер, на всех форумах по разному

[kavahox]

Показатели Ляпунова не всегда постоянны.

Но когда они постоянны, тогда они, очевидно, являются интегралами движения.

Т.к. показателей Ляпунова $2 N-1$ (где $N$ - количество степеней свободы) штук, а это есть количество первых интегралов, то "других функций Ляпунова" не существует.

[cupuyc]

kavahox, так мы говорим о показателях Ляпунова или о функции Ляпунова? При чём здесь вообще показатели?

[EWKLID]

Позвольте еще раз сформулировать вопрос, ответ на который меня интересует.
Пусть $X$ - гладкое векторное поле на $R^n$, $X(x_0)=0$ и $x_0$ - устойчивая по Ляпунову точка покоя для $X$. Предположим, что в окрестности $x_0 {\exists}$ гладкая функция Ляпунова $V(x)$, т.е. $V(x)>0$ при $x\ne{x_0}$ , $V(x_0)=0$ и $X(V(x))\le0$.
Вопрос Справедливо ли следующее утверждение: $X(V(x))=0$ в некоторой окрестности $x_0$ (т.е.$V(x)$ - первый интеграл для $X$), если $div(X)=0$. (т.е. заданное поле сохраняет объем)? (конец вопроса)
Гамильтоновы поля удовлетворяют условию $div(X)=0$. В первоначальном вопросе они и фигурировали.
Естественно, что $V(x)$ не обязана быть гамильтонианом заданного поля.
Понимаю, что нахождение функций Ляпунова задача трудная и при сложном поведении траекторий поля в окрестности точки покоя её вообще может не быть (известный пример Н.Н. Красовского). Но мы предположили, что она существует.

[cupuyc]

EWKLID, бррр.. совсем всё запутали.
1. $x \in R^n$, $X : R^n \to R^m$
2. $V : R^m \to R$
3. А как Вы тогда применяете $X(V(x))$? На вход ведь нужно вектор подавать размерности n, а Вы скаляр засовываете..

[EWKLID]

Поясняю для сириус: гладкое векторное поле $X$ линейно действует, как и положено ему, на алгебре гладких вещественных функций, определенных на $R^n$, и является дифференцированием этой самой алгебры. (М.М. Постников "Вариационная теория геодезических" стр.23, издательство "Наука" 1965 год).
Если перейти к координатной записи, то в локальных координатах $x^1, x^2,...,x^n$
$X={\sum_{i=1}^n}{X^i}{(x^1,x^2,...,x^n)}{\frac \partial {\partial{x^i}}}$
Эти $X^i$ и есть правые части системы дифференциальных уравнений ${x^i'}={X^i}$, о которых мы печемся по поводу функций Ляпунова в окрестности точки покоя $x_0$ с координатами ${x_0}^1$,${x_0}^2$,...,${x_0}^n$. В точке покоя все $X^i=0$.

[cupuyc]

EWKLID, поймите, есть совершенно различные физические (и не только) системы, описываемые различными дифференциальными уравнениями: линейными, нелинейными, обыкновенными, в частных производных, однородными, неоднородными, стационарные, нестационарные и ещё чёрт знает какие. Для каждой из них существуют свои методы исследования. Есть методы, основанные на информации об энергии системы, есть первый метод Ляпунова, второй метод Ляпунова, причём, первый в различной литературе описывается применительно к разным системам.
Я не придираюсь к вашему вопросу, просто пытаюсь выяснить чего Вы хотите, так как я не читал вашей книги и не знаю о чём там идёт речь. Именно поэтому Вы до сих пор не получили компетентного ответа, Ваш вопрос непонятен.

[EWKLID]

... про Маркса, Энгельса, ни при какой погоде, я этих книг, конечно, не читал...
Вопрос ведь очень простой. В случае устойчивости и при сохранении фазового объема, если выбирать функцию Ляпунова, то надо её выбирать среди первых интегралов. Наивный пользователь это давно понял. Однако теоретического обоснования нет.
Так это или не так?