Предел последовательность

[myra_panama]

Последовательность $x_n$ задана следующим образом : $x_1=\frac12 , x_{n+1}=x_n-x_n^2$ при $n\ge1$
Доказать , что $limnx_n=1$
Я использовал теорему ШТОЛЬЦА , но что то не получилось. Кстати эту задачу я написал из книгу В.АСадовничий Задачи СТ ОЛМ МТ

[Руст]

Введите новую переменную $y_n=\frac{1}{x_n}$.
Тогда $y_1=2, y_{n+1}=\frac{y_n}{1-x_n}=y_n+1+\frac{1}{y_n-1}$.
Соответственно $y_n=n+1+ln(n)+z_n$, где $z_n\to z_{\infty}<\infty$.

[myra_panama]

Спасибо за решение ..... Я сделал так ,,Используя теорему ШТОЛЬЦА :
$limnx_n=lim\frac{n}{\frac1x_n}$=$lim\frac{n+1-n}{\frac1x_{n+1}-\frac1x_n}=$$lim\frac1{\frac1{x_n-x_n^2}-\frac1x_n}=$$lim\frac{x_n-x_n^2}{1-(1-x_n)}=$$lim(1-x_n)=1$