Помогите понять дериватив (производную) интуитивно

[jrMTH]

Вот есть, к примеру, функция
$ f(x): x^2 + 3 $

Есть к примеру, её значения
x | y
1 | 4
2 | 7
3 | 12

есть её дериватив (производная)
$ f'(x): 2x $

как пишут в моей книжке: "угол наклона измеряет коэффициент увеличения y по отношению к x".
т.е. если взять x=1, то коэффициент равен $f'(1): 2 * 1 = 2 $.
Не могу интуитивно понять что этот коэффициент (двойка в данном случае) означает.
Ведь по первой формуле y в точке x = 1 равен 4, а значит коэф-ент увеличения равен 4, ведь x вырос в 4 раза.

Вообщем, помогите понять интуитивно, чтобы идею почувствовать. Спасибо.

[VoloCh]

Попробуйте разобраться с понятием "вырос". Например, ребенок вырос на 20 см (с мая прошлого года или с прошлой пятницы?). Сравните с вашим рассуждением про "насколько вырос $x$"

Цитата из "вашей" книжки странная какая-то...
Должно быть ну хотя бы что-то типа "... коэффициент увеличения $y$ по отношению к увеличению $x$".

[Gortaur]

jrMTH
Представьте что у Вас есть только лишь численные данные по какой-либо динамике, Вы хотите ее исследовать. Помимо абсолютных значений (что в такое-то время значение было большим, а в такое было маленьким) Вас будет интересовать еще и поведение "насколько за такой-то период увеличилось то-то и насколько оно увеличилось за другой период но такой же продолжительности". Здесь как раз и будет иметь смысл производная - если период будет достаточно маленьким, то изменение величины деленное на продожительность периода будет стремиться к производной.

[caxap]

Если $x(t)$ -- координата (в момент времени $t$), то $x'(t)$ -- скорость.
Если $x(t)$ -- скорость, то $x'(t)$ -- ускорение.
Если $x(t)$ -- количество варенья в банке (кг), то $x'(t)$ -- скорость поедания варенья (кг/мин).
Если $x(t)$ -- число мегабайтов скачиваемого фильма у вас на диске, то $x'(t)$ -- скорость скачивания (МБ/c).
Если $x(t)$ -- количество израсходованных киловатт-часов электричества, то $x'(t)$ -- суммарная мощность всей техники, работающей в данный момент (кВт).
...

[Утундрий]

(Оффтоп)

jrMTH в сообщении #403400 писал(а):

Помогите понять дериватив...

Воспользуйтесь методом флюксий.

[Kitozavr]

Производная это предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Найдя это предел вы получите какую-то функцию. То есть вы получаете закон, по которому вы сможете найти одно приращение, если известно другое. Пример:
$y = x^2$
$y' = 2x$
Допустим, что $x$ изменился с $1 $до $3$, то есть на два, тогда игрек увеличится уже на $2 \cdot 2 = 4$.

[Gortaur]

Kitozavr
$3^2 - 1^2 = 8\neq 4$. Данное правило можно применять лишь при очень маленьких приращениях аргумента - иначе сами видите какая погрешность. Не путайте ТС.

[Kitozavr]

Виноват. Только что собирался удалить пост.

[Andrei666]

ну смотрите, в точке один пусть у вас будет бесконечно малое изменение аргумента, тогда будет удвоенное бесконечно малое изменение значения, а их отношение равно двойке
понятно?

[ewert]

Gortaur в сообщении #403464 писал(а):

Данное правило можно применять лишь при очень маленьких приращениях аргумента

Тем не менее выкладка вполне точная (хотя и вредная). Раз уж парабола. Просто производная не в той точке взята.

[Ales]

jrMTH в сообщении #403400 писал(а):

Не могу интуитивно понять что этот коэффициент (двойка в данном случае) означает.

Нарисуйте график этой параболы $y=x^2+3$. Касательная в точке, где $x=1$, будет иметь угол наклона $2:1$ (два по вертикали, один по горизонтали).
Если Вы будете разглядывать эту точку параболы в лупу, то кривизна параболы станет незаметной и Вам будет казаться, что Вы видите кусочек прямой $y=2x+2$ (касательной).

Дифференцирование - способ нахождения касательных - наилучших линейных приближений.
Вы приближаете квадратичную зависимость параболы линейной зависимостью касательной.
Понятно, что при больших приращениях $x$ парабола растет быстрее и линейное приближение не годится.
Но если Вы сравните значения $x^2+3$ для $x=1$ и $x=1.01$, то увидите, что прирост функции почти точно равен удвоенному приросту переменной $x$.
Не поленитесь: вычислите прирост функции, оцените погрешность. Тогда все прояснится.

[caxap]

Ales в сообщении #403499 писал(а):

Вы приближаете квадратичную зависимость параболы линейной зависимостью касательной.

В этом вся суть дифференциального исчисления. Вместо рассмотрения сложной нелинейной функции можно в каждой точке рассмотреть её простой "линейный аналог".

Например, около точки $x=2$ страшную функцию $f(x)=x^2 e^{\tg (42-x)} \sin ^{-1}\left(\cos ^2(7 x)\right)$ можно заменить простой $f(2)+f'(2)x\approx 0{,}024-2{,}513x$.

[Gortaur]

jrMTH

(Оффтоп)

Топикстартер, Вы уж скажите нам продожать или нет?

[caxap]

Да, кстати, есть примерно миллион научно-популярных книжек, где производные и интегралы показываются на пальцах. В любом образовательном журнале (напр. "Квант") и серии брошюрок (напр. "Популярные лекции по математике") найдётся статья на эту тему.

[jrMTH]

спасибо всем, постараюсь сегодня понять все что написано.