Одна задача по теории групп (доказательство теоремы)

[Diom]

Добрый день. Решил полистать книгу по теории групп и буквально на второй странице попалась задачка в которой предлагалось доказать следующую теорему:

“Если $a$ и $b$ перестановочные элементы группы и их порядки взаимно просты то $\left|ab\right|=\left|a\right|\left|b\right|$” (где$\left|.\right| $- порядок(период) элемента).

Я вроде бы ее доказал, но что-то мне подсказывает, что предполагалось более простое и элегантное доказательство. Ниже приведено мое доказательство. Не могли бы вы его проверить и, по возможности, предложить свое (с учетом того, что решение предполагает знакомство с теорией групп лишь по двум первым страницам в которых вводятся лишь базовые определения ).

Доказательство: Так как элементы перестановочны, то $\left(ab\right)^{\left|a\right|\left|b\right|}=a^{\left|a\right|\left|b\right|}b^{\left|b\right|\left|a\right|}=e$ (где: $e$ - единица). Остается доказать, что $n=\left|a\right|\left|b\right|$ - наименьшее число при котором $\left(ab\right)^{n}=e$.

Положим обратное. Тогда, очевидно, существует такое $ k>1$, что $\frac{\left|a\right|\left|b\right|}{\left|ab\right|}=k$. Так как $\left|b\right|$ и $\left|a\right|$ взаимно просты, то очевидно $k$ можно представить в виде $k=k_{1}k_{2}$, где $k_{1}$ и $k_{2}$ - взаимно просты и являются делителями соответственно $\left|a\right|$ и $\left|b\right|$. Пусть например $k_{2}>k_{1} $ (из этого следует, что $k_{2}>1$).

Очевидно, что имеет место: $\left(ab\right)^{\left|ab\right|k_{1}}=e$,

С другой стороны, так как $\left|ab\right|k_{1}=\frac{\left|a\right|\left|b\right|}{k_{2}}$ , то: $\left(ab\right)^{\left|ab\right|k_{1}}=a^{\left|a\right|\frac{\left|b\right|}{k_{2}}}b^{\left|a\right|\frac{\left|b\right|}{k_{2}}}=b^{\left|a\right|\frac{\left|b\right|}{k_{2}}}$. Учитывая что $k_{2}>1$ и является делителем $\left|b\right|$ следовательно не является делителем $\left|a\right|$. Отсюда $\left|a\right|\frac{\left|b\right|}{k_{2}}$ не делится на $\left|b\right|$ и следовательно $b^{\left|a\right|\frac{\left|b\right|}{k_{2}}}\neq e$, что противоречит ранее полученному.

[Хорхе]

Вполне нормальное решение.