случайный выбор точки из отрезка, рациональность

[Straw_hat]

Доброго времени суток! Такой вопрос:
Рассмотрим отрезок $[0,1]$. Множество $\mathbb{Q}$ -- счетное, стало быть $\mu([0,1]\cap\mathbb{Q})=0$ (мера в смысле Лебега), а $\mu([0,1])=1$. Отсюда следует, что если мы наугад выбираем точку из данного отрезка, то со 100% - ой вероятностью мы выбирем иррациональную.
Мои рассуждения верны? И если нет, то в чем ошибка?
Заранее большое спасибо!

[Joker_vD]

Ага, верны. Выбранное наугад из отрезка $[0,1]$ число является иррациональным с вероятностью 1. Однако стоит понимать, что из "с вероятностью 1" не следует "всегда".

[Straw_hat]

А что значит

Joker_vD в сообщении #403070 писал(а):

Однако стоит понимать, что из "с вероятностью 1" не следует "всегда".

? В каком случае это не следует?

[Gortaur]

Почти всюду - это не значит всюду. Самый "реальный" пример - это как раз про рациональные числа. Наугад выбранное число из $[0,1]$ иррационально, но из этого не следует, что все числа ираациональные.

[Joker_vD]

Straw_hat
Ну в вашем случае, например. То, что выбранное наугад из $[0,1]$ число иррационально — это не достоверное событие, хоть его вероятность и единица.

[Lazy]

В этом вся мера Лебега - "почти всюду", то есть в подавляющем большинстве случаев. Тогда, остальным малым числом случаев можно типа пренебречь, и поэтому вероятность 1. Но при этом, чтобы была математика, а не естествознание, оговаривают что "в смысле меры Лебега".

P.S.: Эх, знал бы Карл Фридрих Гаусс про меру Лебега... Сколько бы еще открытий его именем бы назвали

[ewert]

Lazy в сообщении #403239 писал(а):

Но при этом, чтобы была математика, а не естествознание, оговаривают что "в смысле меры Лебега".

Лебег непосредственно к вероятностям отношения не имеет. Вполне можно было бы обойтись (и вполне обходились) и мерой Жордана, притом даже до Жордана. Все основные результаты сохраняются, а что при этом теряется полнота -- с идейной точки зрения не так уж принципиально.