Странное неравенство

[Sasha2]

Прошу прощения заранее, что может и не в том разделе, но вот что-то сразу не могу даже понять к какому классическому неравенству это следует отнести и вообще верно ли это?

Итак верно ли, что для любых положительных (неотрицательных) чисел $a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2$ верно вот такое неравенство:
$\sqrt{a_1+a_2}+\sqrt{b_1+b_2}+\sqrt{c_1+c_2} \ge \sqrt{a_1+b_1+c_1}+\sqrt{a_2+b_2+c_2}$

[gris]

А разве это верно? Даже на глаз — если оба а примерно равны и намного больше б и ц? Слева корень из двух корней из а, а справа два корня. Наоборот тоже не получится — возьмём равные большие первые и маленькие вторые. Слева три корня, а справа корень из 3 корней.

[Sasha2]

А вот еще такой вопрос в эту же тему:
Допустим (все числа положительные или неотрицательные), что имеет место неравенство:
$x+y+z \ge u$.
Можно ли тогда утверждать, что
$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \ge \sqrt{u}$

[nnosipov]

Sasha2 в сообщении #403038 писал(а):

А вот еще такой вопрос в эту же тему:
Допустим (все числа положительные или неотрицательные), что имеет место неравенство:
$x+y+z \ge u$.
Можно ли тогда утверждать, что
$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \ge \sqrt{u}$

Очевидно да.

[ewert]

Это -- утверждение о том, что $\|\vec x\|_p\leqslant\|\vec x\|_1\ (\forall\vec x,\,\forall p\geqslant1)$, где $\|\vec x\|_p\equiv\left(\sum\limits_{k=1}^n|x_k|^p\right)^{1/p}$. Следует из выпуклости этой функции (что, между прочим, является фактически одной из аксиом нормы, т.е. сводится к неравенству треугольника). Кстати, тогда и вообще $\|\vec x\|_p\leqslant\|\vec x\|_q\ (\forall p\geqslant q)$.