Тензоры. Вопросы и задачки

[caxap]

Сначала вопросы. (Потом будут задачки, если сам не решу или буду сомневаться в решении.)

1. Почему в современной литературе принято вводить тензоры как элементы тензорного произведения линейных пространств и сопряжённых к ним? Вот в советском учебнике Головиной всё просто и ясно: тензор -- это набор компонент, которые линейно преобразуются при смене базиса с помощью матрицы и обратной к ней; тип тензора определяется тем, какие компоненты преобразуются с помощью "прямой" матрицы (ковариантные = сопреобразующиеся, то есть как и базисные векторы), а какие с обратной (контровариантные = противообразующиеся, противоположно баз. в-рам). В современных учебниках сначала приходится вводить сопряжённое пространство, находить изоморфизм между $L$ и $L^{**}$ и т. д. То есть долгий путь и совсем не очевидно -- чем плохо наивное описание? (Половина главы в книжке Канатникова--Крищенко, которую я сейчас читаю, фактически была введением, чтобы просто ввести определение тензора.)

2. Вот есть вектор $\mathbf x$ и его столбец компонент $x=(x^1,\ldots,x^n)^\top$ к каком-то базисе. Линейное отображение $\mathbf{A}$ и его матрица $A=(a_i^j)$. Тензор $\mathbf T\in\mathcal T_2^3$ и его массив компонент $T_{ij}^{klm}$.

Книжкам хорошо -- у них есть жирный шрифт. А как это письменно писать? Ну вектор ладно -- $\vec x$. А всё остальное?

3. Я посмотрел некоторые книжки и замечаю, что в них отождествляется тензоры с его набором компонент в базисе. Даже Канатников и Крищенко спокойно пишут $\mathbf T=T_{ij}^{klm}$, хотя до главы о тензорах они даже $\vec x=(x_1,\ldots,x_n)^\top$ не осмеливались написать, даже если базис зафиксирован намертво. Почему так? (Меня, как настоящего буквоеда, это нервирует.)

[ShMaxG]

caxap в сообщении #402483 писал(а):

Книжкам хорошо -- у них есть жирный шрифт. А как это письменно писать?

У нас в курсе крышку ставят над буквой. По аналогии со стрелочкой над вектором, над тензором ставим крышечку.
По остальным пунктам ничего не скажу, ибо на лекциях тензоры (а именно их элементы) вводились как объекты, которые преобразуются по определенному правилу. И только через некоторое время, когда к ним пообвыкли, нам их определили как элементы какого-то пространства... Впрочем, глубокая математическая сторона дела нам в курсе особо и не нужна (механика сплошных сред) и подробно на последнем моменте мы не останавливались. А что касается отождествления тензора и его компонент, так я думаю это не очень страшно, если из контекста и так понятно, о чем идет речь.

[Padawan]

Абстрактное определение хорошо тем, что оно не требует базиса, т.е. является бескоординатным. А какое, кстати, в Вашей книге оно?

[caxap]

ShMaxG
А ковекторы стрелочкой ($\vec x$) обозначают?

Padawan
Только из-за этого? Но ведь всё равно одно из центральных свойств тензора -- закон преобразования при смене базиса, чего вокруг-то ходить?

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #402497 писал(а):

А какое, кстати, в Вашей книге оно?

В моей книжке как бы два определения -- одно сложное, через полилинейные формы, часть аргументов которой принадлежат лин. пр-ву, а часть -- сопряжённому ему. Также есть определение как массива чисел с законом преобразования. Я смотрел разные учебники. В старых преимущественно определяется как массив компонент, а в новых через полилинейные формы или элемент тенз. произведения (как я понял, последние два определения по сути одно и то же).

Задачки:

3. В евклидовом пространстве $\mathbb R^2$ со стандартным скалярным произведением заданы два вектора $\vec a_1=(a_1^1,a_1^2)$, $\vec a_2=(a_2^1,a_2^2)$. Эти векторы образуют базис. Найти взаимный базис.

Пусть взаимный базис состоит из ковекторов $\hat b^1=(b^1_1,b^1_2)$, $\hat b^2=(b^2_1,b^2_2)$. Причём они тоже будут принадлежать $\mathbb R^2$, т. к. $(\mathbb R^2)^*=\mathbb R^2$, т. к. оно евклидово. Тогда получаем две СЛАУ

$$\begin{cases} \hat b^1(a_1)=(\hat b^1,a_1)=b^1_1 a_1^1+b^1_2 a_1^2=b^1_i a_1^i=1,\\ \hat b^1(a_2)=b^1_i a_2^i=0.\end{cases}\quad \begin{cases} \hat b^2(a_1)=b^2_i a_1^i=0,\\ \hat b^2(a_2)=b^2_i a_2^i=1.\end{cases}$$

Откуда выражаем координаты взаимного базиса. Для $\vec a_1=(1,2)$, $\vec a_2=(3,4)$ поулчаем $\hat b^1=(-2,\frac 32)$, $\hat b^2$ лень считать. Мне главное, чтоб идея была правильная.

[ShMaxG]

caxap в сообщении #402514 писал(а):

А ковекторы стрелочкой ($\vec x$) обозначают?

Да вроде также (ну в контексте уточняют кто это).

Насчет задачи: куча индексов каких-то Но вроде все правильно.

[Padawan]

(Оффтоп)

caxap
Мне тоже больше в индексной форме с тензорами удобнее/привычнее работать. Но бескоординатная запись тоже имеет свои преимущества -- компактность и обозримость. Зато аналитика не так развита.

[Munin]

caxap в сообщении #402514 писал(а):

Только из-за этого? Но ведь всё равно одно из центральных свойств тензора -- закон преобразования при смене базиса, чего вокруг-то ходить?

Но всё-таки не центральное. Если вас интересует объект, описываемый законом преобразования при смене базиса, то этот объект - не тензор, а представление группы преобразований. А центральное свойство тензора - это его возможность $q$ раз быть свёрнутым с вектором, и $p$ раз с ковектором, и дать скаляр.

[caxap]

Padawan, Munin
Ясно.

ShMaxG
Спасибо за проверку.

4. Пусть $\pmb A$ -- лин. оператор, действующий в лин. пространстве $\mathcal L$. Найдите компоненты тензора $a_j^i$, соответствующего полилинейной форме $\varphi(\pmb x;\pmb f)=\pmb f(\pmb A\pmb x)$, $\pmb x\in\mathcal L$, $\pmb f\in \mathcal L^*$.

Я не совсем понял, что значит "найти компоненты тензора". Я получил только, что массив компонент полилинейной формы равен матрице $(c^i_j)$ оператора $\pmb A$. Это и есть ответ?

Решение такое ($(\pmb e_i)$, $(\pmb b_i)$ -- взаимные базисы в $\mathcal L$ и $\mathcal L^*$ соотв-но):
$\varphi(\pmb x;\pmb f)=\varphi(x^j \pmb e_j;f_i\pmb b^i)=x^j f_i \varphi(\pmb e_j;\pmb b^i)= x^j f_i a_j^i$; $\pmb f(\pmb A\pmb x)=f_i c^i_j x^j$. Значит $a_j^i=c_j^i$.

[ShMaxG]

caxap
По-моему все верно (если Вы можете объяснить это "Значит", хотя это не сложнее всего остального).

[caxap]

ShMaxG
Спасибо. "Значит" -- потому что $x^i f_i a^i_j=x^i f_i c^i_j$ для любых $\pmb x,\pmb f$. Так?

5. Пусть $a_{ij}$ -- симметрический, а $b^{ij}$ -- кососимметрический тензор.
а) Докажите, что $a_{ij} b^{ij}=0$
б) Что можно сказать о тензоре $a_{ik}b^{kj}$?

а) Тут легко: $2a_{ij} b^{ij}=a_{ij} b^{ij}+a_{ij} b^{ij}=a_{ij} b^{ij}-a_{ji} b^{ji}=0$.
б) А вот тут не легко. Могу сказать только, что $a_{ik}b^{kj}\neq 0$ в общем случае. Я пробовал считать конкретные свертки для конкретных $a_{ij}$ и $b^{ij}$, но закономерности не обнаружил

(Пример)

$$(a_{ij})=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & 4 & 1 \end{array} \right);\quad (b^{ij})=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 5 & 6 \\ -5 & 0 & 7 \\ -6 & -7 & 0 \end{array} \right);\quad (a_{ik}b^{kj})=\left( \begin{array}{ccc} -28 & -16 & 20 \\ -29 & -18 & 19 \\ -26 & 8 & 46 \end{array} \right)$$

[svv]

Munin в сообщении #402573 писал(а):

А центральное свойство тензора - это его возможность раз быть свёрнутым с вектором, и раз с ковектором, и дать скаляр.

Да. А закон преобразования компонент автоматически вытекает из требования, что этот скаляр не зависит от выбранного базиса, а только от самого тензора и выбранных векторов/ковекторов (для которых правило преобразования компонент при смене базиса известно).

При компонентном же подходе этот закон вводится декларативно. А сам тензор представляется как набор компонент, а не некая единая сущность.

Характерные цитаты. Книга "Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии" (Алексеевский, Виноградов, Лычагин). Старое определение тензора --

Цитата:

типично бюрократическая подмена существа дела инструкцией, т.е. набором $(\alpha_1, ..., \alpha_n)$. Плата за нее -- неинвариантность и "вакханалия индексов".

Книга "Геометрические методы математической физики" (Б.Шутц):

Цитата:

В фокусе старого определения тензора -- поведение компонент тензора при замене базиса. Это определение было позднее заменено на то, которое приведено выше; насколько же далеки друг от друга эти две концепции, раз мы только сейчас дошли до замен базиса! Нельзя сказать, чтобы преобразования компонент тензора при замене базиса были не важны. В большинстве практических вычислений с тензорами используются их компоненты, и необходимо понимать, как они преобразуются.
...
При современном изложении подчеркивается тот факт, что ни векторы, ни один-формы не меняются при замене базиса; это геометрические объекты, не зависящие от выбора системы координат. Итак, от использования старых названий в современной терминологии отказались потому, что в них делается чрезмерно сильный акцент на описаниях, зависящих от выбора системы координат.

[Munin]

Я вообще веду к тому, что представления - штука более общая и широкая, чем тензоры...

[svv]

caxap писал(а):

Даже Канатников и Крищенко спокойно пишут $\mathbf T=T_{ij}^{klm}$

Лучше, конечно, $\mathbf T=T_{ij}^{klm}\mathbf e_k \otimes \mathbf e_l \otimes \mathbf e_m \otimes \mathbf e^i \otimes \mathbf e^j$. Сам $\mathbf T$ не меняется при преобразовании базиса, отсюда и выводится при современном подходе закон преобразования $T_{ij}^{klm}$.

-- Пт янв 21, 2011 13:01:45 --

caxap писал(а):

3. В евклидовом пространстве $\mathbb R^2$ со стандартным скалярным произведением заданы два вектора $\vec a_1=(a_1^1,a_1^2)$, $\vec a_2=(a_2^1,a_2^2)$. Эти векторы образуют базис. Найти взаимный базис.

Идея Вашего решения правильная, но её можно выразить лаконичнее. Соотношение $b^i_j a^j_k = \delta^i_k$ означает просто, что матрица $B=(b^i_j)$ обратна матрице $A=(a^j_k)$. То есть Вы, конечно, решаете СЛАУ, но делаете это с целью найти $B=A^{-1}$.

[caxap]

(svv)

svv в сообщении #402654 писал(а):

Лучше, конечно,

Это понятно. Но во многих учебниках опускают $\pmb e_k\otimes \ldots$ и пишут $\pmb T=T_{ijk}^{lm}$ и говорят, например, "...тензор $a_{ij}$...". Это даже в тех книжках, где тензор определяется не как набор компонент.

Ведь никто же не отождествляет векторы с координатами, лин. операторы с их матрицами и т. д.

caxap в сообщении #402664 писал(а):

обратна матрице из компонент

Вау, я даже не обратил внимание. Спасибо!

[caxap]

6. Найдите полную свёртку $g_{ij}g^{ij}$ двух метрических тензоров $n$-мерного евклидова пространства.

$g_{ij}g^{ik}=g_{ji}g^{ik}=\delta_j^k$, т. к. матрица $(g_{ij})$ обратна $(g^{ij})$. Окончательно, $\delta_j^j=n$.

7. В условиях задачи 3 запишите координаты контравариантного и ковариантного метрического тензора в базисе $\pmb a_1$, $\pmb a_2$.

Тут вроде всё хорошо получается, но имеются некоторые сомнения -- может я что-то где-то напутал.
Решение моё такое: компоненты ковариантного метрического тензора $g_{ij}$ составляют матрицу Грама $G=(g_{ij})=(\pmb a_i\cdot\pmb a_j)$. У контравариантного будет матрица $(g^{ij})=G^{-1}$.

8. В пространстве $\mathbb R^3$ задан тензор $a_{ij}$ типа $(2,0)$. При каких условиях на компоненты $a_{ij}$ этот тензор можно рассматривать как ков. метрический тензор?

По-моему, достаточно, чтобы матрица (Грама) $(a_{ij})$ была невырожденная и симметрическая. Или ещё какие-то условия должны быть?

Последняя:
9. Найдите тензор, который получается при поднятии одного индекса: а) у метр. тензора $g_{ij}$; б) у символа Кронекера $\delta_j^i$.

а) $g^{ki}g_{ij}=\delta_j^k$ (как в зад. 6).
б) $g^{kj}\delta_j^i=g^{ki}$ (умножение на ед. матрицу)