Как это зачем? Интегральный признак сходимости рядов проходили или как?
Спасибо,
Dan B-Yallay, да, точно, он как раз подходит!
![$\dfrac{n^{1/3}}{\sqrt{n^5+2}}<\dfrac{n^{1/3}}{\sqrt{n^5}}$ $\dfrac{n^{1/3}}{\sqrt{n^5+2}}<\dfrac{n^{1/3}}{\sqrt{n^5}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/f/dffbff816d01adfb1be1e0d77cd954a782.png)
Рассмотрим интеграл
![$$\int\limits_1^{\infty}\dfrac{x^{1/3}}{\sqrt{x^5}}dx=\int\limits_1^{\infty}\dfrac{x^{1/3}}dx{x^{5/2}}=\int\limits_1^{\infty}x^{\frac{1}{3}-\frac{5}{2}}dx=\int\limits_1^{\infty}x^{-{\frac{13}{6}}}dx=\dfrac{1}{\infty}-\dfrac{1^{-7/6}}{-7/6}=\dfrac{6}{7}$$ $$\int\limits_1^{\infty}\dfrac{x^{1/3}}{\sqrt{x^5}}dx=\int\limits_1^{\infty}\dfrac{x^{1/3}}dx{x^{5/2}}=\int\limits_1^{\infty}x^{\frac{1}{3}-\frac{5}{2}}dx=\int\limits_1^{\infty}x^{-{\frac{13}{6}}}dx=\dfrac{1}{\infty}-\dfrac{1^{-7/6}}{-7/6}=\dfrac{6}{7}$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/c/12c285acf20c06a86330b4b752a7ad4682.png)
Из сходимости
![$\int\limits_1^{\infty}\dfrac{x^{1/3}}{\sqrt{x^5}}dx$ $\int\limits_1^{\infty}\dfrac{x^{1/3}}{\sqrt{x^5}}dx$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/d/dfddc7301e018a539b1306bd19d0dd9982.png)
следует сходимость ряда
![$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin \dfrac{n^{1/3}}{\sqrt{n^5}}$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin \dfrac{n^{1/3}}{\sqrt{n^5}}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/3/6a39f0c2a1c0f7267201c996c7c5c9bd82.png)
, а из сходимости ряда
![$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin \dfrac{n^{1/3}}{\sqrt{n^5}}$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin \dfrac{n^{1/3}}{\sqrt{n^5}}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/3/6a39f0c2a1c0f7267201c996c7c5c9bd82.png)
следует сходимость ряда
-- Пт янв 21, 2011 15:58:03 --А как можно аналитически показать, что числитель дроби быстрей знаменателя
Вот в этом случае проще всего -- как раз по Даламберу.
Спасибо, точно! Да, кстати, там все почти сокращается и получается бесконечность)
Но я задал этот вопрос еще по тому, что есть аналогичный пример, который нужно решить
![$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^{n^2}+n^3}{3^{n+7}}$$ $$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^{n^2}+n^3}{3^{n+7}}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/a/f9aaac46ca965d92e53a796c90c6626082.png)
, там Даламбером будет сложнее. А у общего члена ряда
![$\dfrac{2^{n^2}+n^3}{3^{n+7}}$ $\dfrac{2^{n^2}+n^3}{3^{n+7}}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/f/75f534fc2c816b42bcbe56e625221c0b82.png)
числитель опять быстрее знаменателя растет..А как это тут показать, совершенно непонятно(
-- Пт янв 21, 2011 16:00:08 --1. По-моему, если признак Коши или Даламбера сработал, то тогда необходимое условие можно не проверять.
2. Да Вы же показали аналитически, что числитель быстрее знаменателя - предел же посчитали.
1) Спасибо!
2) Предел не считал, показалось, что эта штука будет больше, которая в числителе..
-- Пт янв 21, 2011 16:01:05 -- А как можно аналитически показать, что числитель дроби быстрей знаменателя (кроме разложения в ряд)?
С помощью формулы Стирлинга
Спасибо! А она точно спасет?! Попробую!