Задача в матрицах

[f1z1]

Даны две матрицы $A, B\in\mathbb R^{n\times n}$
Доказать, что: $ AB - BA \ne E$

[caxap]

Приведите любой контрпример

[f1z1]

caxap в сообщении #402215 писал(а):

Приведите любой контрпример

задачу дали на экзамене, я привел их кучу, с одной нулевой матрицей, с одной единичной, с двумя равными матрицами, с матрицами порядка 1, в итоге экзаменатор сказал: "Придешь на пересдачу, нужно доказать для всех матриц, произвольного порядка $n$"

[mihailm]

там следы насколько помню одинаковые

[ewert]

Да, есть такая теорема: $\mathop{\mathrm{Tr}}AB=\mathop{\mathrm{Tr}}BA$. Причём она даже вполне тривиальна.

[caxap]

(Оффтоп)

f1z1
Извиняюсь. Я сначала подумал, что там нулевая матрица справа

[f1z1]

То есть чтобы получить единичную матрицу как минимум разность следов АВ и ВА должна равняться порядку квадратной матрицы?

[ewert]

Что значит "должна". Чему она фактически-то равна, эта разность?...

[f1z1]

ewert в сообщении #402253 писал(а):

Что значит "должна". Чему она фактически-то равна, эта разность?...

Неправильно сформулировал, вместо произведений АВ и ВА просто матрицы А и В ( так как разность для произведения уже выяснили равна 0)
И что бы разность матриц А и В была равна единичной матрицы должно выполнится условие: $trA - trB = n$, где $n$ - порядок матриц А,В

[ShMaxG]

f1z1
Что Вы хотите доказать?

Сначала надо было доказать $AB-BA \ne E$. Это верно для любых матриц и доказывается через следы, как предложили mihailm и ewert.

Теперь Вы говорите, что надо доказать, что для любых матриц выполнено $A-B \ne E$. Но это очевидно бред и следы тут вообще не при чем.

[f1z1]

ShMaxG
Это был вопрос по теме следа у матриц. То есть как я понимаю нет никакого условия для матриц чтобы их разность давала единичную матрицу?

[ShMaxG]

f1z1 в сообщении #402292 писал(а):

То есть как я понимаю нет никакого условия для матриц чтобы их разность давала единичную матрицу?

Не знаю. Нет никаких условий для чисел, чтобы их разность давала 1? Странная задача. Да и при чем тут какие-то условия. Что доказать-то надо?

[caxap]

(Совет студента)

Предположите, что $AB-BA=E$ и возьмите след от обеих частей. Получится противоречие.

[Gortaur]

caxap

(Оффтоп)

Намекаете на более легкую трактовку Вашего совета чем тех что были выше?

[ewert]

(Оффтоп)

ShMaxG в сообщении #402287 писал(а):

и доказывается через следы, как предложил ewert.

Вообще-то это предложил вроде бы mihailm, я лишь уточнил.